1) Найти надежность работы устройства. 2) Найти вероятность, что при испытании 5 устройств безотказную работу показали только 3.

Решение: Введем случайные события: устройство работает надежно;

-й станок работает надежно. Тогда имеем равенство

,

откуда

.

В соответствии с условием задачи, здесь предполагается, что узлы устройства работают независимо. Таким образом, вероятность безотказной работы всех трех узлов устройства (его надежность) представляется как произведения вероятностей безотказной работы всех устройств:

.

При испытании пяти одинаковых устройств вероятность безотказной работы только трех станков может быть найдена по формуле Бернулли

Таким образом, находим:

.

Задача 8. В результате социологических исследований получены следующие результаты: вероятность, что молодой специалист (неженатый или незамужняя), получивший высшее образование, два и более раз поменяет свое место работы в течение первого года после окончания вуза равно 0,1; вероятность, что поменяет один раз место работы – 0,3; вероятность, что не поменяет своего места работы – 0,6. Вероятность, что в течение первого года работы создаст семью – 0,7. Каков приблизительно количество молодых специалистов из 50N участников исследования в течение первого года работы (не)поменяют своего места работы и (не)создадут семьи. Заполнить таблицу.

Из числа 50N = …….. молодых специалистов

Не поменяют своего места работы - …….	Создадут семью -…..
	Не создадут семью - …..
Один раз поменяют свое место работы - …….	Создадут семью - …..
	Не создадут семью - …..
Два и более раз поменяют свое место работы - …….	Создадут семью - …..
	Не создадут семью -…..

Пример решения задачи 8. В результате социологических исследований получены следующие результаты: вероятность, что молодой специалист (неженатый или незамужняя), получивший высшее образование, два раза поменяет свое место работы в течение первого года после окончания вуза равно 0,2; вероятность, что поменяет один раз место работы – 0,4; вероятность, что не поменяет своего места работы – 0,3. Вероятность, что в течение первого года работы создаст семью – 0,6. Каково, приблизительно, количество молодых специалистов из 1000 участников исследования в течение первого года работы (не) поменяют своего места работы и (не) создадут семьи. Заполнить таблицу.

Решение: По смыслу вероятности случайного события, поменяют свое место работы 0,3 1000=300 человек;

Один раз поменяют свое место работы 0,4 1000=400 человек;

Два и более раз поменяют свое место работы 1000-300-400=300 человек.

Составим таблицу:

Из 1000 молодых специалистов

Не поменяют своего места работы - 300	Создадут семью: 0,6 300=180
	Не создадут семью – 300-180=120
Один раз поменяют свое место работы - 400	Создадут семью – 0.6 400=240
	Не создадут семью – 400-240=160
Два и более раз поменяют свое место работы - 300	Создадут семью – 0,6 300=180
	Не создадут семью : 300-180=120

Задача 9*. В результате статистических исследований в некотором городе X при опросе 50N молодых людей в возрасте от 20 до 25 лет выяснилось, что 70% человек являются студентами, из них 75% -это студенты вузов. 80% молодых людей, не являющихся студентами, тем не менее, обучаются в различных учебных заведениях.

Найти вероятность, что из выбранных на удачу двух молодых людей

а) первый окажется студентом, второй студентом вуза;

б) первый где-то учится, второй – студент не вуза;

в) один учится, другой не является студентом.

Пример решения задачи 9*. В результате статистических исследований в некотором городе X при опросе 1000 молодых людей в возрасте от 16 до 24 лет выяснилось, что 80% человек являются студентами, из них 70% -это студенты вузов. 90% молодых людей, не являющихся студентами, тем не менее, обучаются в различных учебных заведениях.

Найти вероятность, что из выбранных на удачу двух молодых людей

а) первый окажется студентом, второй студентом вуза;

б) первый где-то учится, второй – студент не вуза;

в) один учится, другой не является студентом.

Решение: Введем интересующие нас полную группу случайных событий (события, являются несовместными):

выбранный наудачу молодой человек является студентом вуза;

выбранный наудачу молодой человек является студентом не вуза;

выбранный наудачу молодой человек учится, но не студент;

выбранный наудачу молодой человек нигде не учится;

Соответствующие им противоположные события:

выбранный наудачу молодой человек не является студентом вуза;

выбранный молодой человек не является студентом не вуза;

выбранный молодой человек где-то учится;

Тогда интересующими нас событиями для рассматриваемых случаев а),б),в)

будут случайные события

первый окажется студентом, второй студентом вуза;

первый где-то учится, второй – студент не вуза;

один учится, другой не является студентом,

которые можно представить в виде .

Дополнительные индексы, соответствуют номеру выбранного студента (первому или второму), кроме того, здесь мы различаем такие понятия, как «первый» и «один», «второй» и «другой» (см. условие примера). Выражение в круглых скобках представляет собой случайное событие – выбранный наудачу молодой человек, является студентом (в соответствии с определением суммы случайных событий).

Считая результаты выбора первого и второго студента независимыми, и учитывая несовместность событий из полной группы событий, заданные в условии примера вероятности можно представить как

Здесь были использованы формула вероятности произведения независимых случайных событий

,

и формула суммы случайных событий

,

причем последняя формула, в случае несовместных событий, представлялась в упрощенном виде

Таким образом, искомые вероятности случайных событий окончательно могут быть вычислены:

.

Задача 10. Имеются две одинаковые урны Задачи 1. Из каждой урны вытягивается по одному шару. Найти вероятность, что вытянутые шары

а) одного цвета; б) разного цвета.

Пример решения задачи 10. Имеются две одинаковые корзины с фруктами Примера решения задачи 1. Из каждой корзины вытягивается по одному плоду. Найти вероятность, что вытянутые плоды

а) одного вида; б) разного вида.

Решение: Введем полную группу случайных событий (события несовместны):

из первой корзины вытянуто яблоко;

из первой корзины вытянута груша;

из второй корзины вытянуто яблоко;

из второй корзины вытянута груша,

тогда искомые случайные события

вытянутые плоды одного вида;

вытянутые плоды разного вида

могут быть представлены в виде суммы несовместных событий

;          ,

учитывая также, что результаты вытягивания плодов из разных корзин не зависят друг от друга, каждое из произведений составлено из несовместных событий, искомые вероятности можно представить в виде

         

Отметим, что сумма вероятностей равна единице, как и должно быть, с учетом того, что искомые случайные события образуют полную группу.

Задача 11. Между двумя участниками проводится игра «угадай мелодию». Участники по очереди угадывают одну мелодию. Участник А с первого раза угадывает мелодию с вероятностью N/(N+5) , участник В с первого раза угадывает мелодию с вероятностьюN/(N + 8). С каждым последующим участием увеличивается вероятность угадывания на 0,1 для каждого игрока. Первым угадывать мелодию начинает участник А. Найти вероятности угадать мелодию каждым игроком при его трехкратном участии.

Пример решения задачи 11. Два баскетболиста поочередно бросают мяч в корзину до первого попадания, имея по три попытки. Вероятности попасть в корзину для первого игрока увеличиваются с каждым броском и имеет значения для первых трех бросков(0,6; 0,8; 0,9). Соответствующие вероятности для второго игрока -(0,6; 0,9; 0,95). Найти вероятности выигрыша обоими игроками.

Решение: Введем элементарные случайные события:

первый игрок в i-ом броске попадает мячом в корзину;

второй игрок в i-ом броске попадает мячом в корзину.

Искомые случайные события

победил первый игрок; победил второй игрок

выражаем через элементарные события:

;

,

учитывая, что первый баскетболист может забить мяч в корзину и выиграть поединок при первом своем броске, при втором своем броске и при третьем своем броске. Аналогичная ситуация имеет место и для второго игрока. Черта над случайным событием означает промах соответствующего игрока при очередном броске.

Поскольку все слагаемые являются несовместными случайными событиями, а все произведения имеют множителями независимые события, то формулы суммы вероятностей трех событий имеют упрощенный вид

,

как и формулы вероятности произведения случайных событий

,

откуда вероятности искомых событий могут быть представлены в виде

;

Отметим, что сумма вероятностей равна единице, как и должно быть, с учетом того, что искомые случайные события образуют полную группу.

ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БАЙЕСА

Определение полной группы событий. Полной группой случайных событий называется такая совокупность попарно несовместных случайных событий, т.е.  при которая, кроме того - полна, т.е. имеет место равенство (На языке вероятности, что эквивалентно: при    ).

Полная группа событий (гипотез) должна иметь отношение к рассматриваемому испытанию, при котором возможно некоторое случайное событие , происходящее только одновременно с одним из событий .

Формула полной вероятности.

Формула Байеса.

Задача 12. Три завода выпускают один вид продукции. Объемы выпуска заводов относятся как 2 : 3 : 5. Доля некачественной продукции для заводов составляет, соответственно, N, N+5, N+10 процентов (N-номер варианта). Продукция поступает на общий склад, с которого произвольно распределяется по торговым точкам. Найти вероятность, что купленная единица продукции окажется некачественной. Купленная единица продукции оказалась качественной, найти вероятность ее изготовления на том или ином заводе.

Пример решения задачи 12. Три завода выпускают один вид продукции. Объемы выпуска заводов относятся как 1 : 2 : 3. Доля некачественной продукции для заводов составляет, соответственно, 0,1; 0,4; 0,2 процентов. Продукция поступает на общий склад, с которого произвольно распределяется по торговым точкам. 1) Найти вероятность, что купленная единица продукции окажется некачественной.

2) Купленная единица продукции оказалась качественной, найти вероятность ее изготовления на том или ином заводе.

Решение: Определим случайные события:

купленная единица продукции окажется некачественной.

купленная единица продукции окажется некачественной.

Гипотезы , образуют полную группу событий, т.е. они должны удовлетворять двум требованиям (требование полноты и попарной несовместности):

,

купленная единица продукции изготовлена на заводе №1;

купленная единица продукции изготовлена на заводе №2;

купленная единица продукции изготовлена на заводе №3.

Здесь достоверное событие;  - невозможное случайное событие

1) Применяя формулу полной вероятности, получаем

Заметим, что требование полноты на языке вероятности можно записать как

.

2) Поскольку для противоположных событий имеет место свойство

найдем вероятность покупки единицы качественной продукции

Найдем теперь, что эта единица качественной продукции куплена на заводе №1, №2, №3. Применяем для этого трижды формулу Байеса:

.

Здесь опять было использовано свойство для противоположных событий , но которое теперь записывалось в форме:

.

В качестве проверки 2) части примера можно сложить три последние условные вероятности, сумма должна равняться единице ввиду полноты полной группы событий.

Задача 13. Надежность работы (вероятность безотказной работы) каждого станка первой экспериментальной партии станков равна N/(N+5). Найти вероятность, что из десяти станков выйдут из строя : а) пять станков; б) не более трех станков; в) все станки; г) хотя бы один станок.

Пример решения задачи 13. Надежность работы (вероятность безотказной работы) каждого прибора равна 0,2 . Найти вероятность, что из пяти приборов выйдут из строя : а) два ; б) не более трех; в) все; г) хотя бы один.

Решение: Решение проводим с помощью формулы Бернулли:

Интересующее нас случайное событие

в результате испытания прибор надежно работал.

a) Найдем вероятность, что из пяти приборов при их испытании надежно работать будут только два прибора (cобытие A наступит только два раза)

б) Найдем вероятность, что из пяти приборов при их испытании надежно работать будут не более трех приборов. Поскольку при этом , искомое событие (надежная работа не более трех приборов) представим суммой несовместных случайных событий

,

где

надежная работа приборов в количестве i штук. Тогда Искомая вероятность

в) Найдем вероятность, что из пяти приборов при их испытании надежно работать будет все приборы. Поскольку при этом , искомая вероятность

г) Найдем вероятность, что из пяти приборов при их испытании надежно работать будет хотя бы один прибор. Поскольку при этом , искомое событие (надежная работа хотя бы одного прибора) представим суммой несовместных случайных событий

,

Тогда искомая вероятность могла бы быть найдена аналогично случаю б) как

Однако мы поступим иначе и вычислим искомую вероятность не таким громоздким методам. Действительно, используя уже вычисленное значение в пункте а), имеет место равенство