Модели измерённых величин и средств измерения.

Виды физических величин.

В соответствии с закономерностями проявления все физические величины делятся на два вида:

1.детериенированные (неслучайные)

2.случайные

Детерминированные величины это такие величины, которые при повторяющихся циклах измерение ведут себе одинаковым образом. Эти величины делятся на постоянные величины, постоянные функции и постоянные последовательности. Постоянная величина при повторении измерений не изменяется. Функция это совокупность величин определённых другими величинами- аргументами. Функции могут быть непрерывными и дискретными, то есть последовательности. Аргументами в этих функциях чаще всего бывает время или другая величина, как функция от времени.

К случайным величинам относятся величины подчиняющихся вероятностным законам. Выделяют три подкласса: случайные величины, функции, последовательности.

Случайная величина- это величина, которая в процессе измерений из множества возможных значений принимает наиболее вероятное.

Случайная функция-это такая совокупность величин, в которой каждому значению аргумента соответствует случайная величина.

Аналогично формулируются случайные последовательности, которые могут не обладать свойствами функции.

Математические модели детерминированных случайных величин.

При обработке любого измерительного эксперимента необходимо определить свойства измеряемых объектов, установить их связь с другими объектами для того разрабатываются модели, которые являются адекватными образами, позволяющими математически сформулировать свойства объектные измерений, средства измерения и так далее. Для описания детерминированных физических величин главным образом применяются математические модели в виде различных рядов: обобщенный ряд Фурье, комплексный ряд Фурье, ряд Тейлора, ряды Котельникова.

Математические модели следующих величин основываются на использовании различных характеристик из теории вероятности математической статистики:

Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, эксцесс, энтропия, ассиметрия. Наиболее удобной формы модели для случайных величин являются характеристики законов распределения вероятности (дифференциальные и интегральные функции вероятности).

В метрологии наибольшие применение нашли следующие законы распределения вероятности, используемых в качестве моделей.

1. Равномерный закон (закон равномерной вероятности).

2. Треугольный (закон Симпсона).

3. Закон Гаусса.

4. Нормализованный нормальный закон (нормированный закон распределения).

5. Распределение модуля нормальной случайной величины.

6. Закон Релея.

7. Распределение χ² Пирсона.

8. Распределение Стьюдента.

9. Распределение Фишера.

10. Распределение Коши.

11. Экспоненциальный односторонний.

12. Экспоненциальный двусторонний (закон Лапласа).

13. Закон арксинуса.

14. Двухмодальный закон.

Математические модели средств измерений.

Виды измерительных преобразований.

В процессе любого измерения происходит преобразование суммарной величины х в результат измерения у.

Различают два вида суммарных преобразований:

1.функциольнальная

2.операторное

Функциональное преобразование описывается функцией вида: у= f(х). Такое преобразование не учитывает инерционных свойств приборов, то есть результат измерения у в момент времени t применяется значением х только в этот момент.

Если средству измерения присуще функциональное преобразование, то его моделью является функция у= f(x)- статическая.

Такой вид преобразования характерен для простейших приборов (штангенциркуль)

Операторное преобразование- это преобразование описывается оператором А следующего вида у (t)= A*х(t), где х(t)- суммарная величина, А- оператор преобразований, у(t)- результат измерения.

Учитывает инерционные свойства приборов, то есть у в момент времени t определяется значением величины Х в момент времени t и в предшествующий момент.

Режим измерения при операторном преобразовании называется динамическим, а при функциональном называется статическим. При функциональном преобразование: у=к*х, к- коэффициент чувствительности средств измерения. Для идеального прибора k=1.

Средства измерения имеющие линейную статическую характеристику типа у = кх называется линейными.

Математическая модель средств измерений в форме дифференциального уравнения.

Данная модель считается наиболее удобной и универсальной моделью

а_nу⁽ⁿ⁾(t)+а_n-1у^(n-1)(t)+…..+у(t)= к[вmХ^(m)(t)+в_m-1х^(m-1)(е)+…..х(t)] где

у_i(t), х_j(t)- производные входного и выходного сигналов.

Линейные дифференциальные уравнения такого типа описывают линейное операторное преобразование. И если математическая модель средства измерения задана в форме дифференциального уравнения, а измеряемой величиной является х(t), то результат измерения будет результат решения этого уравнения. Обычно результат решения дифференциального уравнения относится у(t) имеет следующий вид

у(t)= ƒw(t)x(t-t)dt ☼

где w(t)- весовая функция средств измерения.

Решение уравнения ☼ представляет собой интегральную форму связи между измеряемой величиной х(t) и результатом измерений у(t).

Модели измеряемых величин и средств измерения.

Математическая модель средств измерений в форме передаточных и частотных характеристик.

Более простую связь, чем дифференциальное уравнение между измеряемыми величинами и результата можно получить, перейдя от функции времени к функции комплексной переменой.

Р=σ+ jw

σ=const t

w - круговая часть w=2πт

j= √-1

принято функция времени называется оригиналом ƒ(t), а функцию комплексного аргумента F(P) называется изображением.

ƒ(t) / F(P)

Переход к функции комплексного аргумента Р от ƒ(t) осуществляется на основе преобразования Лапласа:

F(p)= L[ƒ(t)]

Используя преобразования Лапласа к обоим частям модели дифференциального уравнение, то в конечном итоге получил следующую зависимость:

n m

( ∑а_ipⁱ) Y(р)= k(∑в_jp^j) Х(р)

i=o j=o

из данного выражения следует, что

m n

☼☼ у(р) /х(р)=W(P)= k ∑ в_jp^j / ∑ a_ipⁱ = kW₀(p)

j=o i=o

W(p)- передаточная функция средства измерения- это отношение изображения результата измерения к изображению измеряемой величины

к- коэффициент чувствительности средств измерения

W_o(P)- передаточная функция операторной части средств измерения.

Математическая модель в форме передаточной функции обеспечивает простую связь в области комплексного аргумента Р между результатом измерения и измеряемой величины (☼☼).

Понятие передаточной функции широко применяется и для случаев измерения величин в виде синусоидальных сигналов типа:

X(t)= A_хе^{j (wt+γx)}

При подаче такого сигнала на вход линейного преобразователя на выходе средства измерения будет тоже синусоидальный сигнал, но с другой амплитудой и началом фаз.

Если предположить следующее условие:

Р=jw; σ=0, то можно получить выражение передаточной функции:

W(P)/_p=jw=W(jw)=U(w)+jV(w)=W(jw)e^jα(w)

U(w)-действительная часть, V(w)-мнимая часть.

Данное выражение называется частотная (амплитудно-фазовая) характеристика средств измерения – модель средств измерения в области аргумента w.

Из данного выражения следует:

W(jw)= – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) средств измерения.

α(w)=arctgV(w)/U(w) – фазово-частотная характеристика (ФЧХ) средств измерения.

При использовании линейного преобразования на выходе получается сигнал следующего вида:

y(t)=Ay(w)e^j[wt+φ_y ^(w)]

В этом случае АЧХ будет определяться как отношение амплитуд входного-выходного сигнала: W(jw)=

α(w)= φ_y(w)- φ_x

АЧХ отражает зависимость отношения амплитуд выходного-входного сигналов от частоты, а ФЧХ отражает зависимость разности фазовых углов выходного-входного сигналов от частоты.

АЧХ могут использоваться как полные динамические характеристики аналоговых средств измерений.

Для сложных измерительных систем передаточная функция и частотная характеристика определяются по следующим правилам:

1. при последовательном включении элементов характеристика канала в целом определяется произведением функций составляющих элементов.

2. При параллельном включении каналов характеристика системы в целом равна сумме функции сигналов.

Таким образом связь между измеряемой величиной и результатом измерения в области комплексного аргумента определяется следующим образом:

y(P)=W(P)*X(P)

y(jw)=W(jw)*X(jw)

Обратные переходы от изображения к оригиналу производятся за счёт обратного преобразования Лапласа: L^-1 при помощи таблиц Лапласа