1.4. Интегрирование тригонометрических функций.

1. Интегралы вида sin^mx cosⁿx dx

а) Если хотя бы один из показателей m и n – нечётное положительное число – используются подстановки sinx = t при нечётном n и cosx = t при нечетном m.

Примеры:

б) Если оба показателя m и n – чётные положительные числа, подынтегральную функцию следует преобразовать с помощью известных соотношений: .

Пример:

2. Интегралы вида tg^mxdx и ctg^mxdx, где m – целое положительное число, интегрируются с помощью соотношений tg²x = sec²x–1 и ctg²x = cosec²x – 1, позволяющих последовательно понижать степень подынтегральной функции.

Пример:

Аналогично находятся интегралы вида tg^mx secⁿx dx и ctg^mx cosecⁿx dx, где n – целое положительное число.

Интегралы sin(mx) cos(nx) dx, cos(mx) cos(nx) dx, sin(mx) sin(nx) dx вычисляются с помощью формул sin cos = ½[sin( +) + sin( – )], cos cos = ½[cos( + ) + cos( – )], sin sin = ½[cos( – ) – cos ( + )], позволяющих произведение тригонометрических функций представить в виде суммы.

Интегралы вида R(sinx, cosx)dx, где R – рациональная функция, вычисляются с помощью универсальной тригонометрической подстановки tg x/2 = t (х = 2arctgt). Переход к новой переменной в подынтегральном выражении осуществляется с помощью формул:

(1.26)

Пример:

Проинтегрируем с помощью тригонометрической подстановки простейшую рациональную дробь четвёртого типа , где . Выделив в знаменателе полный квадрат получим и, обозначив . Применив подстановку получим легко вычисляемый уже известным приёмом.

1.5. Интегрирование некоторых иррациональных функций.

1. Интегралы вида R(x, (ax + b) ^m₁^/n₁, (ax + b) ^m₂^/n₂, …)dx, где R – рациональная функция, а m_i, n_i,– целые числа, вычисляются с помощью подстановки ах + b = t^s, где s – наименьшее общее кратное чисел n_i.

Пример:

где

2. Интегралы вида сводятся к табличным выделением полного квадрата в подкоренном выражении.

Пример:

3. Интегралы вида вычисляются с помощью известного уже приема – в числителе выделяют производную подкоренного выражения и интеграл представляют в виде суммы более простых интегралов.

Пример:

1. Интеграл вида с помощью подстановки х –  = 1/t сводится к интегралу, рассмотренному ранее.

Пример:

5. Интегралы вида , , приводятся к интегралам от рациональных относительно sint (cost) функций с помощью надлежащей тригонометрической подстановки: для первого

х =а sect (х = а cosect), для второго х = а sint (х = а cost) и для третьего

х = а tgt (x = a ctgt).

Пример:

1.6. О «неберущихся» интегралах

Выше говорилось, что если и выполняются условия существования первообразной, то не всегда она может быть найдена как конечная комбинация элементарных функций. Соответствующий интеграл можно рассматривать как новую неэлементарную функцию. Такие функции часто носят название специальных, многие из них хорошо изучены (и табулированы). Например, та из первообразных , которая обращается в нуль при х = 0 называется функцией Гаусса и обозначается Ф(х), т.е. Ф(х) = если Ф(0) = 0.