Свойства математического ожидания случайной величины

1. Математическое ожидание постоянной величины равно ей самой: M[C]=C, C – постоянная;

2. M[C•X]=C•M[X]

3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M[X+Y]=M[X]+M[Y]

4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M[X•Y]=M[X]•M[Y], если X и Y независимы.

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(c)=0.

2. Постоянный множитель можно вынести из-под знака дисперсии, возведя его в квадрат: D(k*X)= k²D(X).

3. Если случайные величины X и Y независимы, то дисперсия суммы равна сумме дисперсий: D(X+Y)=D(X)+D(Y).

4. Для дисперсии справедлива вычислительная формула:  D(X)=M(X²)-(M(X))²

2.

Билет 12

1.Математическое ожидание непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством: 

Дисперсия непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством: 

Случайную величину X называют непрерывной, если ее функция распределения F(X)=P(X < x) непрерывна и имеет производную.  Функция распределения непрерывной случайной величины применяется для вычисления вероятностей попадания случайной величины в заданный промежуток:  P(α < X < β)=F(β) - F(α)  причем для непрерывной случайной величины не имеет значения, включаются в этот промежуток его границы или нет:  P(α < X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)  Плотностью распределения непрерывной случайной величины называется функция  f(x)=F’(x), производная от функции распределения.

2.

Билет 13

1.

2.

Билет 14

1.Функцией распределения вероятностей F(x) случайной величины Х в точке х называется вероятность того, что в результате опыта случайная величина примет значение, меньше, чем х, т.е. F(x)=P{X < х}.  Рассмотрим свойства функции F(x).

1. F(-∞)=lim_(x→-∞)F(x)=0. Действительно, по определению, F(-∞)=P{X < -∞}. Событие (X < -∞) является невозможным событием: F(-∞)=P{X < - ∞}=p{V}=0.

2. F(∞)=lim_(x→∞)F(x)=1, так как по определению, F(∞)=P{X < ∞}. Событие Х < ∞ является достоверным событием. Следовательно, F(∞)=P{X < ∞}=p{U}=1.

3. Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала [Α Β] равна приращению функции распределения вероятностей на этом интервале. P{Α ≤X<Β}=F(Β)-F(Α).

4. F(x₂)≥ F(x₁ ), если x_2, > x₁, т.е. функция распределения вероятностей является неубывающей функцией.

5. Функция распределения вероятностей непрерывна слева. FΨ(x_o-0)=limFΨ(x)=FΨ(x_o) при х→ x_o

Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины

Если функция распределения F_ (x) непрерывна, то случайная величина  называется непрерывной случайной величиной.

Если функция распределения непрерывной случайной величины дифференцируема, то более наглядное представление о случайной величине дает плотность вероятности случайной величины p_(x), которая связана с функцией распределения F_ (x) формулами

 и  .

Отсюда, в частности, следует, что для любой случайной величины  .