Билет 1

1.Понятие вероятности.

Вероятность — степень возможности наступления некоторого события. Когда основания для того, чтобы какое-нибудь возможное событие произошло в действительности, перевешивают противоположные основания, то это событие называют вероятным, в противном случае — маловероятным или невероятным.

2. Фото

Билет 2

1.Основные формулы комбинаторики

Перестановки

Пусть имеется nn различных объектов.  Будем переставлять их всеми возможными способами (число объектов остается неизменными, меняется только их порядок). Получившиеся комбинации называются перестановками, а их число равно

Pn=n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n−1)⋅nPn=n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n−1)⋅n

Символ n!n! называется факториалом и обозначает произведение всех целых чисел от 11до nn. По определению, считают, что 0!=1,1!=10!=1,1!=1.

Пример всех перестановок из n=3n=3 объектов. Согласно формуле, их должно быть ровно P3=3!=1⋅2⋅3=6P3=3!=1⋅2⋅3=6, так и получается.

С ростом числа объектов количество перестановок очень быстро растет и изображать их наглядно становится затруднительно. Например, число перестановок из 10 предметов - уже 3628800 (больше 3 миллионов!).

Размещения

Пусть имеется nn различных объектов.  Будем выбирать из них mm объектов и переставлять всеми возможными способами между собой (то есть меняется и состав выбранных объектов, и их порядок). Получившиеся комбинации называются размещениями из nn объектов по mm, а их число равно

Amn=n!/(n−m)!=n⋅(n−1)⋅...⋅(n−m+1)Anm=n!(n−m)!=n⋅(n−1)⋅...⋅(n−m+1)

Пример всех размещений из n=3n=3 объектов (различных фигур) по m=2m=2 - на картинке справа. Согласно формуле, их должно быть ровно A23=3⋅(3−2+1)=3⋅2=6A32=3⋅(3−2+1)=3⋅2=6.

Сочетания

Пусть имеется nn различных объектов.  Будем выбирать из них mm объектов все возможными способами (то есть меняется состав выбранных объектов, но порядок не важен). Получившиеся комбинации называются сочетаниями из nn объектов по mm, а их число равно

Cmn=n!/(n−m)!⋅m!Cnm=n!(n−m)!⋅m!

Пример всех сочетаний из n=3n=3 объектов (различных фигур) по m=2m=2 - на картинке справа. Согласно формуле, их должно быть ровно C23=3!/(3−2)!⋅2!=3C32=3!(3−2)!⋅2!=3. Ясно, что сочетаний всегда меньше чем размещений (так как при размещениях порядок важен, а для сочетаний - нет), причем именно в m!m! раз, то есть верна формула связи:

Amn=Cmn⋅Pm.

2.Фото

Билет 3

1.Сложение и умножение вероятностей

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В.

Теорема сложения вероятностей

Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

В случае, когда события А и В совместны, вер-ть их суммы выражается формулой

Р (А +В) = Р (А) + Р (В) – Р (АВ),

где АВ – произведение событий А и В.

Два события называются зависимыми, если вероятность одного из них зависит от наступления или не наступления другого. в случае зависимых событий вводится понятие условной вероятности события.

Условной вероятностью Р(А/В) события А называется вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло. Аналогично через Р(В/А) обозначается условная вероятность события В при условии, что событие А наступило.

Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении события А и события В.

Теорема  умножения вероятностей

Вероятность произведения двух событий равна вер-ти одного из них, умноженной на условную вероятность другого при наличии первого:

Р (АВ) = Р(А) · Р(В/А), или Р (АВ) = Р(В) · Р(А/В).

Следствие. Вероятность совместного наступления двух независимых  событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:

Р (АВ) = Р(А) · Р(В).

Следствие. При производимых n одинаковых независимых испытаниях, в каждом из которых события А появляется с вероятностью р, вероятность появления события А хотя бы один раз равна 1 - (1 - р)n

2.Фото

Билет 4

1.Формула Бернулли — формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события  при независимых испытаниях. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений — сложения и умножения вероятностей — при достаточно большом количестве испытаний. Названа в честь выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли, который вывел эту формулу.

2.

Билет 5

1.Случайными величинами, например, являются число выпавших очков при однократном бросании игральной кости, число распавшихся атомов радия за данный промежуток времени, число вызовов на телефонной станции за некоторый промежуток времени, отклонение от номинала некоторого размера детали при правильно налаженном технологическом процессе и т. д.     Таким образом, случайной величиной называется переменная величина, которая в результате опыта может принимать то или иное числовое значение. 

Распределение вероятностей — это закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их исхода (появления).

2.

Билет 6

1.Функцией распределения вероятностей F(x) случайной величины Х в точке х называется вероятность того, что в результате опыта случайная величина примет значение, меньше, чем х, т.е. F(x)=P{X < х}.  Рассмотрим свойства функции F(x).

1. F(-∞)=lim_(x→-∞)F(x)=0. Действительно, по определению, F(-∞)=P{X < -∞}. Событие (X < -∞) является невозможным событием: F(-∞)=P{X < - ∞}=p{V}=0.

2. F(∞)=lim_(x→∞)F(x)=1, так как по определению, F(∞)=P{X < ∞}. Событие Х < ∞ является достоверным событием. Следовательно, F(∞)=P{X < ∞}=p{U}=1.

3. Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала [Α Β] равна приращению функции распределения вероятностей на этом интервале. P{Α ≤X<Β}=F(Β)-F(Α).

4. F(x₂)≥ F(x₁ ), если x_2, > x₁, т.е. функция распределения вероятностей является неубывающей функцией.

5. Функция распределения вероятностей непрерывна слева. FΨ(x_o-0)=limFΨ(x)=FΨ(x_o) при х→ x_o

Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины

Если функция распределения F_ (x) непрерывна, то случайная величина  называется непрерывной случайной величиной.

Если функция распределения непрерывной случайной величины дифференцируема, то более наглядное представление о случайной величине дает плотность вероятности случайной величины p_(x), которая связана с функцией распределения F_ (x) формулами

 и  .

Отсюда, в частности, следует, что для любой случайной величины  .

2.

Билет 7

1. Из формулы P{Α ≤ X < Β}=F(Β)-F(Α)следует, что вероятность попадания случайной величины в заданный интервал определяется скоростью изменения функции распределения вероятностей на этом интервале. Скорость изменения непрерывной функции равна ее производной. Это позволяет ввести новую функцию для задания случайной величины. Рассмотрим снова вероятность попадания случайной величины в интервал [x,x+Δx]:

P{x≤X<x+Δx}=F(x+Δx)-F(x).

Пусть Х - непрерывная случайная величина. Тогда для малых значений Δx эта вероятность будет также достаточно малой. Поделим ее на Δx и перейдем к пределу при Δx →0:

lim_{Δx →0}(P{x≤X<x+Δx}/Δx)=lim_{Δx →0}(F(x+Δx)-F(x))/Δx).

Если это предел существует, то он равен производной от функции распределения F(x):

 lim_{Δx →0}(F(x+Δx)-F(x))/Δx)=F'(x)=f(x).

Функция f(x) называется плотностью распределения вероятностей случайной величины Х. Из определения следует, что при малых значениях Δx справедливо равенство:

 P{x≤X<x+Δx}≈f(x)*Δx

Рассмотрим свойства плотности распределения f(x).

1. Всегда f(x)≥0, так как функция F(x) является неубывающей функцией.

2 Для функции распределения F(x) справедливо равенство:

F(x)=_-∞∫^xf(t)dt.

Действительно, так как по определению f(x)=F'(x), то F(x) является первообразной функцией по отношению к плотности распределения f(x). Следовательно,

 _-∞∫^∞f(t)dt=F(t)_-∞ι^x=F(x)-F(-∞)=F(x)-0=F(x.)

3. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал [Α ; Β] равна:

P{Α≤X<Β}=_Α∫^βf(t)dt.

Действительно, в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница этот определенный интеграл равен F(Β)-F(Α). По 3-му свойству функции распределения вероятностей эта разность и представляет собой вероятность P{Α≤X<Β} .

4. Интеграл от плотности распределения вероятности по всей области задания случайной величины равен единице:

 _-∞∫^∞f(t)dt=1 .

2.

Билет 8

1.

2.

Билет 9

1.Корреляцией случайных величин (англ. correlation)   и   называется выражение следующего вида:

, где   — ковариация случайных величин.

Заметим, что   — среднеквадратичное отклонение.

2.

Билет 10

1.

2.

Билет 11

1.Математическим ожиданием (средним значением) случайной величины X, заданной на дискретном вероятностном пространстве, называется число m=M[X]=∑x_ip_i, если ряд сходится абсолютно.