1. Введение

Описания технических объектов должны быть по сложности согласованы с возможностями восприятия человеком и с возможностями ЭВМ оперировать описаниями моделей в процессе их преобразования при проектировании. Однако выполнить это требование в рамках некоторого единого описания, не расчленяя его на отдельные составные части, удается лишь для простых изделий. Как правило, требуется структурирование описаний и соответствующее расчленение представлений о проектируемых объектах на иерархические уровни и аспекты. Это позволяет распределять работы по проектированию сложных объектов между подразделениями проектной организации, что способствует эффективности и производительности труда проектировщиков.

Использование принципов блочно-иерархического подхода к проектированию структур математических моделей проектируемых объектов позволяет формализовать процесс их написания. Количество иерархических уровней при моделировании определяется сложностью проектируемых объектов и возможностью средств проектирования. Однако иерархические уровни большинства предметных областей можно отнести к одному из трех обобщенных уровней, называемых микро-, макро- и метауровнями.

В ряде предметных областей удается использовать специфические особенности функционирования объектов для упрощения математической модели. Примером являются электронные устройства цифровой автоматики, в которых возможно применять дискретное представление таких фазовых переменных, как напряжения и токи. В результате математическая модель становится системой логических уравнений, описывающих процессы преобразования сигналов. Такие логические модели существенно более экономичны, чем модели электрические, описывающие изменения напряжений и токов как непрерывных функций времени.

2. Процедуры анализа

Цель анализа - получение информации о характере функционирования и значениях выходных параметров Y при заданных структуре объекта, сведениях о внешних параметрах Q и параметрах элементов X. Если заданы

фиксированные значения параметров X и Q, то имеет место процедура одновариантного анализа, которая сводится к решению уравнений математической модели и вычислению вектора выходных параметров Y. Если заданы статистические сведения о параметрах X и нужно получить оценки числовых характеристик распределений выходных параметров (например, оценки математических ожиданий и дисперсий), то это процедура статистического анализа. Если требуется рассчитать матрицы абсолютной А и (или) относительной В чувствительности, то имеет место задача анализа чувствительности.

В процедурах многовариантного анализа определяется влияние внешних

параметров, разброса и нестабильности параметров элементов на выходные

параметры. Процедуры статистического анализа и анализа чувствительности — характерные примеры процедур многовариантного анализа.[1]

3. Анализ чувствительности

Цель анализа чувствительности - определение коэффициентов чувствительности, называемых также коэффициентами влияния:

,

где A_ij и B_ij – абсолютный и относительный коэффициенты чувствительности выходного параметра Y_j к изменениям внутреннего параметра x_i ; Y_{i ном} и x_{i ном} - номинальные значения параметров Y_j и x_i .

Результаты анализа чувствительности m выходных параметров к изменениям n внутренних параметров представляют собой m∙n коэффициентов чувствительности, составляющих матрицу абсолютной или относительной чувствительности.

Анализ чувствительности применяется, если параметры X и Q можно считать непрерывными величинами, а параметры Y_j являются дифференцируемыми функциями своих аргументов x_i и q_{k ном}.

В ряде случаев для получения результатов математических экспериментов используют метод приращений.

3.1 Метод приращений. Метод приращений есть метод численного дифференцирования зависимости .

Алгоритм метода приращений включает в себя (n+1)-кратное обращение к модели для вычисления Y, где n - количество варьируемых параметров, т.е. таких параметров (или q_k), влияние которых на Y исследуется. В первом варианте задаются номинальные значения аргументов и, следовательно, результатом обращения к модели будет номинальное значение Y_ном = (Y_1ном,Y_{2 ном}, ..., Y_{m ном}) вектора Y. В очередном (i+1)-м варианте среди оставшихся n вариантов задается отклонение x...x_i от номинального значения только по одному из варьируемых параметров. В результате выполнения (i+1)-го варианта получают для вектора Y значение Y_i = (y_1B, y_2B, ..., y_mi), по которому оценивается очередной i-й столбец матрицы абсолютной чувствительности . Любой из найденных коэффициентов A_ji легко пересчитать в коэффициент B_ji в соответствии с данными работы.

Основное достоинство метода приращений - его универсальность: метод применим к любым непрерывным математическим моделям. Однако у метода приращений имеются и существенные недостатки: невысокая точность, что характерно для операций численного дифференцирования; сравнительно большая трудоемкость вычислений. Трудоемкость вычислений оценивается количеством обращений к модели, так как объем вычислений в алгоритмических моделях обычно велик и заметно превышает трудоемкость выполнения процедур по обработке результатов обращений к моделям. В методе приращений требуется (n+1) вариант обращения к модели.

3.2 Прямой и вариационный методы. Эти методы анализа чувствительности менее универсальны, чем метод приращений, но позволяют повысить точность или снизить затраты машинного времени. Они основаны на интегрировании специальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, относятся к специальному математическому обеспечению и применяются в подсистеме схемотехнического проектирования.

3.3 Регрессионный метод. В регрессионном методе анализа чувствительности коэффициенты чувствительности отождествляются с коэффициентами регрессии, рассчитываемыми в процессе статистического анализа по методу Монте-Карло. Этот метод требует выполнения очень большого объема вычислений; его применение выгодно, если в каком-либо маршруте проектирования нужно решать задачи как статистического анализа, так и анализа чувствительности. Тогда затраты времени, дополнительные к затратам на статистический анализ, будут пренебрежимо малы.