29. Применение алгебры логики при разработке канонических задач.

Ответ:

После изготовления первого компьютера стало ясно, что при его производстве возможно использование только цифровых технологий – ограничение сигналов связи единицей и нулём для большей надёжности и простоты архитектуры ПК. Благодаря своей бинарной природе, математическая логика получила широкое распространение в ВТ и информатике. Были созданы электронные эквиваленты  логических функций, что позволило применять методы упрощения булевых выражений к упрощению электрической схемы. Кроме того, благодаря возможности нахождения исходной функции по таблице позволило сократить время поиска необходимой логической схемы.

В программировании логика незаменима как строгий язык и служит для описания сложных утверждений, значение которых может определить компьютер.

 Каноническими  формами логических (формул) функций называются выражения, имеющие стандартную форму булевой формулы такой, которая однозначно представляет логическую функцию.

В  алгебре   логики   каноническими  формами логических функций является совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) и совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ).

1. СДНФ (совершенной ДНФ) называется ДНФ, в которой нет равных элементарных конъюнкций и все натуральные конъюнкции, содержащие одни и те же переменные (длина одинакова). Причем каждая переменная входит только один раз, включая вхождение под знак отрицания.

В этой формуле присутствуют элементарные конъюнкции второго ряда (в ВТ называемые минтермами).

Для любой логической функции, не являющейся тождественным нулем, можно построить реализующие ее однозначно СДНФ.

Для построения СДНФ, заданной таблицей соответствия необходимо по каждому двоичному набору (булеву вектору, кортежу), на котором функция принимает значение 1, записать конъюнкцию n-го порядка так, что не инвертируется те переменные логической функции, которые имеют в кортеже значение 1.

2. СКНФ – совершенная конъюнктивная нормальная форма, такая форма, в которой нет одинаковых сомножителей и все сомножители содержат одни и те же переменные, причем каждая переменная только 1 раз включает знак вхождения под знак отрицания.

Логическая функция n аргументов не равная тождественно 1 реализуется однозначно СКНФ.

Замечания.

1) Для построения СКНФ логической функции n аргументов, заданной таблицей соответствия, необходимо по каждому кортежу переменных, на которой логическая функция принимает значение 0, записать дизъюнкцию всех n переменных, инвертируя переменные, имеющие значения 1.

Сигнатура называется функционально полной, если всякая логическая функция может быть реализована формулой, содержащей лишь символы функций из сигнатуры.

Система булевых функций называется полной, если любая булева функция может быть

Эквивалентные преобразования логических выражений (т. е. способ получения равносильных формул) направлен на их упрощение и минимизацию

а) Упрощение формул означает получение равносильных формул с меньшим числом символов их образующих. В булевой алгебре логики для упрощения формул используется следующие тождества (аксиомы, законы, тождественные константы):

Элементарные булевы функции (дизъюнкция, конъюнкция и т.д.) в булевых функциях выполняют задание аналогичное элементарным функциям (x, x2, sin, log, и т.п.) в классической математике при изучении анализа.