23. Дифференциальные уравнения в частных производных. Классификация. Решение дифференциальных уравнений в частных производных. Примеры.

Ответ:

Дифференциальное уравнение в частных производных (частные случаи также известны как уравнения математической физики, УМФ) — дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные.

Рассмотрим сравнительно простое уравнение в частных производных:

Из этого соотношения следует, что значение функции u(x,y) не зависит от y. Мы можем положить её равной произвольной функции от x. Следовательно, общее решение уравнения следующее:

где f — произвольная функция переменной x. Аналогичное обыкновенное дифференциальное уравнение имеет вид:

и его решение

где c — произвольная константа (не зависящая от y). Эти два примера показывают, что общее решение обыкновенного дифференциального уравнения содержит произвольные константы, но общее решение дифференциального уравнения в частных производных содержит произвольные функции. Решение дифференциального уравнения в частных производных, вообще говоря, не единственно. В общем случае на границе рассматриваемой области задаются дополнительные условия. Например, решение выше рассмотренного уравнения (функция  ) определяется единственным образом, если   определена на линии  .

Постановка задач для уравнений в частных производных включает определение самого уравнения (или системы нескольких уравнений), а также необходимого количества краевых условий (число и характер задания которых определяется спецификой уравнения). По своему названию уравнения должны содержать частные производные неизвестной функции и (или нескольких функций, если уравнений несколько) по различным аргументам, например пространственной переменной х и времени t. Соответственно, для решения задачи требуется вычислить функцию нескольких переменных, например u<x,t) в некоторой области определения аргументов 0< х < L и 0< t < T. Граничные условия определяются как заданные временные зависимости функции и, или производных этой функции на границах расчетной области 0 и L, а начальные - как заданная u(х, 0).

Сами уравнения в частных производных (несколько условно) можно разделить на три основных типа:

• параболические — содержащие первую производную по одной переменной и вторую — по другой, причем все эти производные входят в уравнение с одинаковым знаком;

• гиперболические — содержащие первую производную по одной переменной и вторую — по другой, входящие в уравнение с разными знаками;

• эллиптические — содержащие только вторые производные, причем одного знака.

Некоторые более сложные уравнения нельзя однозначно подогнать под приведенную классификацию, тогда говорят о гибридных типах уравнений.

Пример: уравнение диффузии тепла

На протяжении всей главы мы будем использовать в качестве примера очень наглядное и имеющее различные, от очевидных до самых неожиданных, решения уравнение теплопроводности.

Двумерное динамическое уравнение

Рассмотрим следующее параболическое уравнение в частных производных, зависящее от трех переменных — двух пространственных х и у, а также от времени t:

Выражение в скобках в правой части уравнения (сумму вторых пространственных производных функции u часто, ради краткости, обозначают при помощи оператора Лапласа: du).

Это уравнение называется двумерным уравнением теплопроводности или, по-другому, уравнением диффузии тепла. Оно описывает динамику распределения температуры u(x,y,t) на плоской поверхности (например, на металлической пластине) в зависимости от времени (рис. 13.1). Физический смысл коэффициента в, который, вообще говоря, может быть функцией как координат, так и самой температуры, заключается в задания скорости перетекания тепла от более нагретых областей в менее нагретые. Функция ф(х,у,t,u) описывает приток тепла извне, т.е. источники тепла, которые также могут зависеть как и от пространственных координат (что задает локализацию источников), так и от времени и температуры и.

Для того чтобы правильно поставить краевую задачу для двумерного уравнения теплопроводности, следует определить следующие дополнительные условия:

• граничные условия, т. е. динамику функции u(x,y,t) и / или ее производных на границах расчетной области;

• начальное условие, т. е. функцию u(x,y, t).

Если рассматривается не одно уравнение в частных производных, а система уравнений, то соответствующие начальные и граничные условия должны быть поставлены для каждой из неизвестных функций.

24. Основные (исходные) понятия математической статистики: статистический закон распределения случайной величины, критерий проверки гипотез. : результат наблюдения (испытания), генеральная совокупность, выборка из генеральной совокупности.

Ответ:

Предположим, что изучается дискретная или непрерывная случайная величина, закон распределения которой неизвестен. Для оценки закона распределения этой случайной величины и его числовых характеристик производится ряд независимых измерений x₁, x₂, ..., x_n.Статистический материал представляют в виде таблицы, состоящей из двух строк, в первой из которых даны номера измерений, а во второй — результаты измерений.

i — номер измерения	1	2	....
xi — результат измерений	x1	х2	....	хn

Такую таблицу называют простым статистическим рядом.

Для того чтобы правильно оценить закон распределения СВ Х, производят группировку данных. Если X — дискретная СВ, то наблюденные значения располагаются в порядке возрастания и подсчитываются частоты m_i или частости m_i/n появления одинаковых значений СВ Х. В результате получаем сгруппированные статистические ряды:

хi	x1	х2	....	хk
mi	m1	m2	....	mk

  _к

Контроль: åm_i = n .

^{i = 1}

хi	х1	х2	......	хn
mi/n	m1/n	m2/n	......	mk/n

_k

Контроль: åm_i/n = 1.

^{i =1}

Если изучается непрерывная случайная величина, то группировка заключается в разбиении интервала наблюденных значений случайной величины на k частичных интервалов равной длины [x₀; x₁ [, [x₁; x₂ [, [x₂; x₃ [, ...... [x_k-1;x_k] и подсчете частоты или частости m_i/n попадания наблюденных значений в частичные интервалы. Количество интервалов выбирается произвольно, обычно не меньше 5 и не больше 15.

В результате составляется интервальный статистический ряд следующего вида:

СВХ	[x0; x1 [	[x1; x2 [	....	[xk-1;xk]
mi/n	m1/n	m2/n	....	mk/n

_k

Контроль: å m_i/n = 1.

^{i = 1}

Определение. Перечень наблюденных значений СВ Х (или интервалов наблюденных значений) и соответствующих им частостей m_i/n называется статистическим законом распределения случайной величины.

Статистические законы позволяют визуально произвести оценку закона распределения исследуемой случайной величины.

Статистическая гипотеза - представляет собой некоторое предположение о законе распределения случайной величины или о параметрах этого закона, формулируемое на основе выборки.

Примерами статистических гипотез являются предположения: генеральная совокупность распределена по экспоненциальному закону; математические ожидания двух экспоненциально распределенных выборок равны друг другу. В первой из них высказано предположение о виде закона распределения, а во второй – о параметрах двух распределений. Гипотезы, в основе которых нет никаких допущений о конкретном виде закона распределения, называют непараметрическими, в противном случае – параметрическими.

Гипотезу, утверждающую, что различие между сравниваемыми характеристиками отсутствует, а наблюдаемые отклонения объясняются лишь случайными колебаниями в выборках, на основании которых производится сравнение, называют нулевой (основной) гипотезой и обозначают Н₀. Наряду с основной гипотезой рассматривают и альтернативную (конкурирующую, противоречащую) ей гипотезу Н₁. И если нулевая гипотеза будет отвергнута, то будет иметь место альтернативная гипотеза.

Различают простые и сложные гипотезы. Гипотезу называют простой, если она однозначно характеризует параметр распределения случайной величины. Например, если  является параметром экспоненциального распределения, то гипотеза Н₀ о равенстве  =10 – простая гипотеза. Сложной называют гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного множества простых гипотез. Сложная гипотеза Н₀ о неравенстве  > 10 состоит из бесконечного множества простых гипотез Н₀ о равенстве  =b_i , где b_i – любое число, большее 10. Гипотеза Н₀ о том, что математическое ожидание нормального распределения равно двум при неизвестной дисперсии, тоже является сложной. Сложной гипотезой будет предположение о распределении случайной величины Х по нормальному закону, если не фиксируются конкретные значения математического ожидания и дисперсии.

Проверка гипотезы основывается на вычислении некоторой случайной величины – критерия, точное или приближенное распределение которого известно. Обозначим эту величину через z, ее значение является функцией от элементов выборки z=z(x₁, x₂, …, x_n). Процедура проверки гипотезы предписывает каждому значению критерия одно из двух решений – принять или отвергнуть гипотезу. Тем самым все выборочное пространство и соответственно множество значений критерия делятся на два непересекающихся подмножества S₀ и S₁. Если значение критерия z попадает в область S₀, то гипотеза принимается, а если в область S₁, – гипотеза отклоняется. Множество S₀ называется областью принятия гипотезы или областью допустимых значений, а множество S₁ – областью отклонения гипотезы или критической областью. Выбор одной области однозначно определяет и другую область.

Принятие или отклонение гипотезы Н₀ по случайной выборке соответствует истине с некоторой вероятностью и, соответственно, возможны два рода ошибок.

Ошибка первого рода - возникает с вероятностью  тогда, когда отвергается верная гипотеза Н₀ и принимается конкурирующая гипотеза Н₁.

Ошибка второго рода - возникает с вероятностью  в том случае, когда принимается неверная гипотеза Н₀, в то время как справедлива конкурирующая гипотеза Н₁.

Доверительная вероятность – это вероятность не совершить ошибку первого рода и принять верную гипотезу Н₀. Вероятность отвергнуть ложную гипотезу Н₀ называется мощностью критерия.