15. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Ответ:

Численное решение ДУ (частное) заключается в вычислении функции y(x) и ее производных в некоторых заданных точках  , лежащих на определенном отрезке. То есть, фактически, решение ДУ n-го порядка вида получается в виде следующей таблицы чисел (столбец значений старшей производной вычисляется подстановкой значений в уравнение):

X	y	y'		y(n-1)
x1	y(x1)	y'(x1)	…	y(n-1)(x1)
x2	y(x2)	y'(x2)	…	y(n-1)(x2)
xN	y(xN)	y'(xN)	…	y(n-1)(xN)

Например, для дифференциального уравнения первого порядка таблица решения будет представлять собой два столбца – x и y.

Множество значений абсцисс   в которых определяется значение функции,  называют сеткой, на которой определена функция y(x). Сами координаты при этом называют узлами сетки. Чаще всего, для удобства, используются равномерные сетки, в которых разница между соседними узлами постоянна и называется шагом сетки илишагом интегрирования дифференциального уравнения

    или    ,    i = 1, …, N

Для определения частного решения необходимо задать дополнительные условия, которые позволят вычислить константы интегрирования. Причем таких условий должно быть ровно n. Для уравнений первого порядка – одно, для второго - 2 и т.д. В зависимости от способа их задания при решении дифференциальных уравнений существуют три типа задач:

·        Задача Коши (начальная задача): Необходимо найти такое частное решениедифференциального уравнения, которое удовлетворяет определенным начальными условиям, заданным в одной точке:

то есть, задано определенное значение независимой переменной (х0), и значение функции и всех ее производных вплоть до порядка (n-1) в этой точке. Эта точка (х0)называется начальной. Например, если решается ДУ 1-го порядка, то начальные условия выражаются в виде пары чисел (x0, y0)

 Такого рода задача встречается при решении ОДУ, которые описывают, например, кинетику химических реакций. В этом случае известны концентрации веществ в начальный момент времени (t = 0), и необходимо найти концентрации веществ через некоторый промежуток времени (t). В качестве примера можно так же привести задачу о теплопереносе или массопереносе (диффузии), уравнение движения материальной точки под действием сил и т.д.

·        Краевая задача. В этом случае известны значения функции и (или) ее производных в более чем одной точке, например, в начальный и конечный момент времени, и необходимо найти частное решение дифференциального уравнения между этими точками. Сами дополнительные условия в этом случае называются краевыми (граничными) условиями. Естественно, что краевая задача может решаться для ОДУ не ниже 2-го порядка. Ниже приведен пример ОДУ второго порядка с граничными условиями (заданы значения функции в двух различных точках):

       ·        Задача Штурма-Лиувиля (задача на собственные значения). Задачи этого типа похожи на краевую задачу. При их решении необходимо найти, при каких значениях какого-либо параметра решение ДУ удовлетворяет краевым условиям (собственные значения) и функции, которые являются решением ДУ при каждом значении параметра (собственные функции). Например, многие задачи квантовой механики являются задачами на собственные значения.

16. Сетевой график экономического процесса. Понятия работы и события. Исходные данные и правила построения сетевого графика комплекса работ. Расчет параметров сетевого графика. Критический путь. Резервы времени событий и резервы времени работ. Оптимизация сетевого графика комплекса работ. Критерии оптимизации. Способы оптимизации.

Ответ:

Сетевой график — это динамическая модель производственного процесса, отражающая технологическую зависимость и последовательность выполнения комплекса работ, увязывающая их свершение во времени с учётом затрат ре­сурсов и стоимости работ с выделением при этом узких (критических) мест.

Основные элементы сетевого графика — работа и событие. Также важным понятием является понятие пути.

Работа

Работа отражает трудовой процесс, в котором участвуют люди, машины, механизмы, материальные ресурсы (проектирование сооружения, поставки оборудования, кладка стен, решение задач на ЭВМ и т. п.) либо процесс ожидания (твердение бетона, сушка штукатурки и т. п.). Каждая работа сетевого графика имеет конкретное содержание. Работа как трудовой процесс требует затрат времени и ресурсов, а как ожидание — только времени. Для правильного и наглядного отображения порядка предшествования работ при построении сети используют изображаемые штриховыми линиями дополнительные дуги, называемые фиктивными рабо­тами или связями. Они не требуют ни времени, ни ресурсов, а лишь указывают, что начало одной работы зависит от окончания другой.

Событие

Событие выражает факт окончания одной или нескольких непосредственно предшествующих (входящих в событие) работ, необходимых для начала непосредственно следующих (выходящих из события) работ. Событие, стоящее в начале работы, называется начальным, а в конце — конечным. Начальное событие сетевого графика называется исходным, а конечное — завершающим. Событие, не являющееся ни исходным, ни завершающим, называется промежуточным. В исходное событие сетевого графика не входит, а из завершающего не выходит ни одна работа. В отличие от работ, события совершаются мгновенно без потребления ресурсов.

Путь

Под путём понимают любую последовательность работ в сетевом графике, при которой конечное событие каждой работы совпадает с начальным событием последующей. Продолжительность пути определяется суммой продолжительностей составляющих его работ. Путь наибольшей длины между исходными и завершающими событиями называется критическим (Lm). Если критическое время не соответствует заданному или нормативному, сокращение сроков производственного процесса необходимо начинать с сокращения продолжительности критических работ.

Сетевой график — граф, отражающий работы проекта и связи между ними (в виде сети), а также состояния проекта в целом (выполненные и планируемые к выполнению работы). Граф может быть построен в двух вариантах:

Вершины графа отображают состояния некоторого объекта (например, строительства), а дуги — работы, ведущиеся на этом объекте.

Вершины графа отражают работы, а связи между ними — зависимости между работами.

Вершины — состояния, дуги — работы

Вершины графа отображают состояния некоторого объекта (например, строительства), а дуги — работы, ведущиеся на этом объекте. Каждой дуге сопоставляется время, за которое осуществляется работа и/или число рабочих, которые осуществляют работу. Часто сетевой график строится так, что расположение вершин по горизонтали соответствует времени достижения состояния, соответствующего заданной вершине. Популярная составляющая методологии PERT.

Виды работ:

действительная работа в прямом смысле слова (например — подготовка трассы соревнований), требующая затрат труда, материальных ресурсов и времени;

ожидание — работа не требующая затрат труда и материальных ресурсов, но занимающая некоторое время;

фиктивная работа (зависимость) — связь между двумя или более событиями, не требующая затрат труда, материальных ресурсов и времени, но указывающая, что возможность начала одной операции непосредственно зависит от выполнения другой (продолжительность такой работы нулевая).

Всякая работа в сети соединяет два события: предшествующее (являющееся для неё начальным) и следующее за ней (конечное).

Виды событий:

исходное событие — начало выполнения комплекса работ;

завершающее событие — конечное событие, означающее достижение конечной цели комплекса работ;

промежуточное событие, как результат одной или нескольких работ, представляющих возможность начать одну или несколько непосредственно следующих работ (продолжительность промежуточного события во времени всегда нулевая).

Событие определяет состояние, а не процесс.

Любая последовательность работ в сетевом графике, в котором конечное событие каждой работы этой последовательности совпадает с начальным событием следующей за ней работой, называется путем.

Пути в сетевом графике могут быть трех видов:

полный путь — начало которого совпадает с исходным событием сети, а конец — с завершающим, называется полным путем;

путь, предшествующий событию — путь от исходного события сети до данного события;

путь, следующий за событием — путь, соединяющий событие с завершающим событием;

путь между событиями i и j — путь, соединяющий какие-либо два события i и j, из которых ни одно не является исходным или завершающим событием сетевого графика.

Критический путь — путь, имеющий наибольшую продолжительность от исходного события до завершающего

Вершины — работы, дуги — зависимости

Вершины графа отражают работы, а связи между ними — зависимости между работами. В таком графе каждый узел, как и работа, характеризуется рядом атрибутов, как продолжительность работы, ранее время начала, позднее время начала, резерв (разница между ранним и поздним временем начала). Работы с нулевым резервом лежат на критическом пути.

Правила составления сетевого графика

Существуют некоторые базовые правила составления сетевого графика:

каждая работа должна быть заключена между двумя событиями. В сети не может быть работ, имеющих одинаковые коды;

в сети не должно быть событий, из которых не выходит ни одной работы, если только это событие не является для данного графика завершающим;

соответственно, в сети не должно быть события, в которое не входит ни одной работы, если только это событие не является исходным;

в сетевом графике не должно быть замкнутых контуров.

17. Матричная игра с нулевой суммой. Ход, стратегия, функция выигрыша. Платежная матрица и ее упрощение. Оптимальная чистая стратегия в матричной игре. Определение понятия оптимальной стратегии. Седловая точка и определение ее наличия. Признак чистой стратегии. Оптимальная смешанная стратегия в матричной игре. Понятие и условия смешанной стратегии. Нераспределенная разность. Особенности решения матричных игр.

Ответ:

На этом этапе игра выступает пока еще как конкретное состязание, описываемое своими правилами в содержательных терминах. Лишь в конце его Дж. фон Нейман вырабатывает представление об игре как об общей модели абстрактного конфликта. Итогом этого этапа явилось накопление ряда конкретных математических результатов и даже отдельных принципов будущей теории игр. Второй этап составляет сама монография Дж. фон Неймана и О. Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение» (1944), объединившая в себе большинство ранее полученных (впрочем, по современным математическим масштабам довольно немногочисленных) результатов. Она впервые представила математический подход к играм (как в конкретном, так и в абстрактном понимании этого слова) в виде систематической теории. Наконец, на третьем этапе теория игр в своем подходе к изучаемым объектам мало, чем отличается от других разделов математики и развивается в значительной мере по общим с ними закономерностям. При этом, разумеется, существенное влияние на формирование направлений теории игр оказывает специфика ее практических приложений, как фактических, так и возможных. Однако даже математическая теория игр не способна стопроцентно предопределить исход некоторых конфликтов. Представляется возможным выделить три основные причины неопределенности исхода игры (конфликта). Во-первых, это игры, в которых имеется реальная возможность исследования всех или, по крайней мере, большинства вариантов игрового поведения из них одного наиболее истинного, ведущего к выигрышу. Неопределенность вызвана значительным числом вариантов, поэтому не всегда представляется возможным исследовать абсолютно все варианты (к примеру, японская игра ГО, русские и международные шашки, британские реверси). Во-вторых, непрогнозируемое игроками, случайное влияние факторов на игру. Эти факторы оказывают решающее воздействие на исход игры и лишь в малой степени могут быть или вообще не могут быть контролируемыми и определяемыми играющими. Окончательный исход игры лишь в малой, крайне незначительной степени определяется самими действиями игроков. Игры, исход которых оказывается неопределенным в силу случайных причин, называются азартными. Исход игры всегда носит вероятностный либо предположительный характер (рулетка, игра в кости, игра в «орлянку»). В-третьих, неопределенность вызвана отсутствием информации о том, какой именно стратегии придерживается играющий противник. Неведение игроков о поведении соперника носит принципиальный характер и определяется самим правилами игры. Такие игры именуются стратегическими. Теория игр является одним из важных разделов «Исследования операций» и представляет собой теоретические основы математических моделей принятия оптимальных решений в конфликтных ситуациях рыночных отношений, носящих характер конкурентной борьбы, в которых одна противоборствующая сторона выигрывает у другой за счет проигрыша другой. Наряду с такой ситуацией в рамках науки «Исследование операций», которая предоставляет математическое описание постановок различных задач по принятию решений, рассматриваются ситуации риска и неопределенности.

На третьей фазе происходит выбор одного из вариантов решений из множества альтернатив, подготовленных на второй фазе. Последний шаг в процессе принятия решений – это реализация выбранной альтернативы и обобщение опыта, полученного в процессе решения проблемы. Таким образом, само решение принимается в рамках второй и третьей фаз: конструирование относительно небольшого множества альтернатив; окончательный выбор варианта решения из сформированного множества. Схематически две эти фазы представлены на рисунке 1. Фазы существенным образом различаются как целями и информацией, так и методами. На фазе, в которой одним из вопросов является выбор относительно небольшого числа альтернатив (эту фазу часто называют early scree i g). ЛПР должно принять во внимание все возможные пути достижения цели. В процессе же детального анализа и окончательного выбора альтернативы, ЛПР ограничивает себя малым числом подготовленных вариантов решений. Выбору альтернативы из этого числа предшествует их детальное изучение. Рис. 1 - Фазы процесса принятия решений Классификация задач принятия решений Задачи принятия решений отличаются большим многообразием, классифицировать их можно по различным признакам, характеризующим количество и качество доступной информации. В общем случае задачи принятия решений можно представить следующим набором информации: где – постановка задачи; – множество допустимых альтернативных вариантов; – множество методов измерения предпочтений; – множество методов измерения предпочтений (например, использование различных шкал); – отображение множества допустимых альтернатив в множество критериальных оценок; – системы предпочтений эксперта; - решающее правило, отражающее систему предпочтений. Любой из элементов этого набора может служить классификационным признаком принятия решений. По виду отображения F. Попытки применения исследования операций для решения различного класса задач выявили большие различия в природе изучаемых систем. В связи с этим Г. Саймоном и А. Ньюэллом была предложена следующая классификация: Хорошо структурированные или количественно сформулированные проблемы, в которых существенные зависимости выяснены настолько хорошо, что они могут быть выражены в числах или символах, принимающих, в конце концов, численные оценки. Слабоструктурированные или смешанные проблемы, которые содержат как качественные, так и количественные элементы, причем качественные, малоизвестные и неопределенные стороны имеют тенденцию доминировать. Неструктурированные или качественно выраженные проблемы, содержащие лишь описание важнейших ресурсов, признаков и характеристик, количественные зависимости между которыми совершенно неизвестны. Согласно этой классификации проблемы исследования операций можно назвать хорошо структурированными. В типичных задачах исследования операций объективно существует реальность, допускающая строгое количественное описание и определяющая существование единственного очевидного критерия качества. Этот класс задач широко применяется при оценке и выборе элементов технических устройств, например: оптимизация форм корпуса самолетов или кораблей, управление электростанцией, расчет радиоактивного заражения местности, минимизация затрат на перевозки и т.д. Для этих задач существуют адекватные математические модели процессов и/или устройств, и существуют данные, позволяющие априорно определить параметры моделей.

Решение матричной игры сведением к задаче линейного программирования

Пусть игра задана платежной матрицей.

			…
			…
			…
	…	…	…	…
			…

Оптимальные смешанные стратегии  и  игроков А и В могут быть найдены в результате решения пары двойственных задач линейного программирования.

Для игрока А:

В результате решения задачи находятся оптимальный вектор  и  , а затем  .

Для игрока В:

Решая задачу, находят оптимальный вектор  и  , а затем  .

18. Теория массового обслуживания, классификация систем и их показатели эффективности. Моделирование системы массового обслуживания: основные параметры, характеристики и граф состояний. Число состояний и его определение. Вероятность отказа.

Ответ:

Системы, в которых в случайные моменты времени возникают заявки на обслуживание и имеются устройства для обслуживания этих заявок, называ- ются системами массового обслуживания (СМО). СМО могут быть классифицированы по признаку организации обслужи- вания следующим образом: С М О Системы с отказами не имеют очередей. Системы с ожиданием имеют очереди. Заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты: - покидает систему с отказами; - становится в очередь на обслуживание в системах с ожиданием при неограниченной очереди или на свободное место при ограниченной очереди; - покидает систему с ожиданием при ограниченной очереди, если в этой очереди нет свободного места. В качестве меры эффективности экономической СМО рассматривают сумму потерь времени: - на ожидание в очереди; - на простои каналов обслуживания. многоканальные с отказами с ожиданием при ограниченной очереди одноканальные с ожиданием при неограниченной очереди Для всех видов СМО используются следующие показатели эффектив- ности: - относительная пропускная способность - это средняя доля посту- пающих заявок, обслуживаемых системой; - абсолютная пропускная способность - это среднее число заявок, об- служиваемых системой в единицу времени; - вероятность отказа - это вероятность того, что заявка покинет сис- тему без обслуживания; - среднее число занятых каналов - для многоканальных СМО. Показатели эффективности СМО рассчитываются по формулам из спе- циальных справочников (таблиц). Исходными данными для таких расчетов являются результаты моделирования СМО.

При всем многообразии СМО они имеют общие черты, которые позво- ляют унифицировать их моделирование для нахождения наиболее эффек- тивных вариантов организации таких систем. Для моделирования СМО необходимо иметь следующие исходные дан- ные: - основные параметры; - граф состояний. Результатами моделирования СМО являются вероятности ее состояний, через которые выражаются все показатели ее эффективности. Основные параметры для моделирования СМО включают: - характеристики входящего потока заявок на обслуживание; - характеристики механизма обслуживания. Рассмотрим характеристики потока заявок. Поток заявок - последовательность заявок, поступающих на обслужи- вание. Интенсивность потока заявок λ - среднее число заявок, поступающих в СМО в единицу времени. Потоки заявок бывают простейшими и отличными от простейших. Для простейших потоков заявок используются модели СМО. Простейшим, или пуассоновским называется поток, являющийся ста- ционарным, одинарным и в нем отсутствуют последействия. Стационарность означает неизменность интенсивности поступления заявок с течением времени.

Граф состояний описывает функционирование системы обслуживания как переходы из одного состояния в другое под действием потока заявок и их обслуживания. Для построения графа состояний СМО необходимо: - составить перечень всех возможных состояний СМО; - представить перечисленные состояния графически и отобразить воз- можные переходы между ними стрелками; - взвесить отображенные стрелки, т.е. приписать им числовые значения интенсивностей переходов, определяемые интенсивностью потока заявок и интенсивностью их обслуживания.

19. Постановка задачи регрессионного анализа. Статистические данные. Результирующий показатель и факторы. Корреляционная и функциональная зависимости. Уравнение регрессии. Парная и множественная корреляции. Этапы проведения регрессионного анализа.

Ответ:

Оставаясь в рамках классического регрессионного анализа, уточним рассматриваемую статистическую задачу. Пусть исходными данными являются пары значений , которые являются результатами измерений. В общем случае число узлов может отличаться от числа откликов, так как измерения могут проводиться несколько раз в одном и том же узле, т. е.  . Значения аргумента   известны точно, а значения отклика   содержат только случайные ошибки:

 

,

т. е.  , где   – истинное значение в узле  . Обычно ошибки в измерении или задании аргумента либо отсутствуют, либо гораздо меньше по сравнению с ошибками  . Если же это не так, задача существенно усложняется.

Относительно ошибок   предположим, что они подчиняются схеме Гаусса-Маркова [2]:

1) центрированы, т. е. их математическое ожидание равно нулю,   (систематическая ошибка – постоянная, прогрессирующая или периодическая – отсутствует);

2)  гомоскедастичны, т. е. данные   равноточны, их дисперсии в разных узлах одинаковы,  ;

3)  ошибки в разных узлах некоррелированы, т. е.  ,   и распределены нормально.

Относительно неизвестной истинной зависимости   сделаем общепринятые предположения:

1) истинная зависимость существует в виде непрерывной дифференцируемой функции во всем диапазоне изменения аргумента, т. е.  ;

2) она представима в виде

  ,                                      (1.9)

 

где   – неизвестные истинные параметры, число которых   полагается известным, а   – известные функции (базисные функции).

Число узлов   (все значения   различны) должно быть   больше числа неизвестных параметров  :  . Если число узлов равно числу параметров, то эмпирическая кривая пройдет по всем точкам  , но с истинной зависимостью, скорее всего, не будет иметь ничего общего. Если же  , то задача вообще неразрешима.

Предположим, что случайная величина   имеет нормальное распределение, т. е.  . Отсюда следует, что и случайная величина  . Хотя многие оптимальные свойства МНК- оценок имеют место при любом законе распределения ошибок с нулевым математическим ожиданием и конечными дисперсиями, при нормальном законе распределения ошибок, появляются дополнительные оптимальные свойства. Предположение о нормальности закона распределения лежит в основе классического регрессионного анализа.

Это предположение на практике довольно часто выполняется, что является следствием центральной предельной теоремы теории вероятностей.

Итак, задача состоит в поиске математической модели  , адекватной опытным значениям. Т. е. по результатам наблюдений, искаженных ошибками, надо восстановить истинную зависимость или построить регрессионную кривую. Эта обратная задача имеет, как правило, неединственное решение. Например,  -образную кривую можно аппроксимировать параболой, кубической параболой, гиперболой, отрезком синусоиды и т.п. Таким образом, достаточно часто требуется анализировать несколько математических моделей.

Понятие функциональной зависимости

Будем говорить, что между двумя признаками X и Y существует функциональная зависимость (взаимосвязь), при которой каждому значению одного из них соответствует одно или несколько строго определенных значений другого.

Например, в функции у = 2 * х каждому значению х соответствует в два раза большее значение у . В функции каждому значению у соответствует 2 определенных значения х . Графически это выглядит так (рис. 6, 7 соответственно): Понятие корреляционной зависимости и ее направленности

Будем говорить, что между двумя признаками Х и У существует корреляционная зависимость (взаимосвязь), при которой с изменением одного признака изменяется и другой, но каждому значению признака Х могут соответствовать разные, заранее непредсказуемые значения признака У, и наоборот.

Для различия направленности влияния одного признака на другой введены понятия положительной и отрицательной связи.

Если с увеличением (уменьшением) одного признака в основном увеличиваются (уменьшаются) значения другого, то такая корреляционная связь называется прямой или положительной.

Если с увеличением (уменьшением) одного признака в основном уменьшаются (увеличиваются) значения другого, то такая корреляционная связь называется обратной или отрицательной.

2. Корреляционные поля и их использование в предварительном анализе корреляционной связи

При постановке вопроса о корреляционной зависимости между двумя статистическими признаками Х и У проводят эксперимент с параллельной регистрацией их значений.

Корреляционно-регрессионный  анализ  как общее понятие включа­ет в себя измерение тесноты и направления связи и установление аналити­ческого выражения (формы) связи ( регрессионный   анализ ).

Целью  регрессионного   анализа  является оценка функциональной за­висимости условного среднего значения результативного признака (У) от факторных (х1, х2, …, хk).

Уравнение регрессии, или статистическая модель связи социально-эко­номических явлений, выражается функцией:

• Yx = f(х1, х2, …, хn),

• где «n» – число факторов, включенных в модель;

• Хi – факторы, влияющие на результат У.

 Этапы  корреляционно-регрессионного  анализа :

1. Предварительный (априорный) анализ. Он дает неплохие результаты если проводится достаточно квалифицированным исследователем.

2. Сбор информации и ее первичная обработка.

3. Построение модели (уравнения регрессии). Как правило эту процедуру выполняют на ПК используя стандартные программы.

4. Оценка тесноты связей признаков, оценка уравнения регрессии и анализ модели.

5. Прогнозирование развития анализируемой системы по уравнению регрессии.

На первом этапе формулируется задача исследования, определяется методика измерения показателей или сбора информации, определяется число факторов, исключаются дублирующие факторы или связанные в жестко-детерминированную систему.

На втором этапе анализируется объем единиц: совокупность должна быть достаточно большой по числу единиц и наблюдений (N>>50), число факторов «n» должно соответствовать количеству наблюдений «N». Данные должны быть количественно и качественно однородны.

На третьем этапе определяется форма связи и тип аналитической функции (парабола, гипербола, прямая) и находятся ее параметры.

На четвертом этапе оценивается достоверность всех характеристик корреляционной связи и уравнения регрессии используя критерий достоверности Фишера или Стьюдента, производится экономико-технологический анализ параметров.

На пятом этапе осуществляется прогноз возможных значений результата по лучшим значениям факторных признаков, включенных в модель. Здесь выбираются наилучшие и наихудшие значения факторов и результата.

20. Экономический анализ на основе уравнений регрессии. Интерпретация коэффициентов уравнения регрессии. Изучение вклада факторов в изменение результирующего показателя. Прогнозирование результатов экономической деятельности.

Ответ:

Поскольку анализ связи осуществляется в выборочных совокупностях, а данные затем распространяются на генеральную совокупность, то необходимо провести проверку значимости каждого коэффициента уравнения регрессии. Оценки значимости коэффициентов уравнения регрессии дают возможность распространить выводы по результатам выборки на генеральную совокупность. Найдя по эмпирическим данным параметры уравнения, определяют их среднюю ошибку µаi и с заданной вероятностью пределы, в которых могут находиться эти параметры.

Расчет ошибок параметров а , b, и с основан на использовании остаточного среднего квадратического отклонения, характеризующего расхождение между эмпирическими и теоретическими значениями результативного признака.

-остаточное среднее квадратическое отклонение, отображающее вариацию результативного признака y от всех прочих кроме x факторов. Где yi - результативный признак; - выровненные значения по уравнению регрессии;

где n-число единиц совокупности.

Средняя ошибка параметра а

,

а средняя ошибка параметров уравнения регрессии

где  среднее квадратическое отклонение факторного признака хi от общей средней  .

Рассчитав среднюю ошибку параметра и задавшись определенной вероятностью можно определить доверительные интервалы для каждого параметра как а(b,с) ± t*µa(b,c)

Значимость параметра проверяется путем сопоставления его значения со средней ошибкой.

 

По значению t в зависимости от объема исследуемой совокупности и судят о значении параметра. При n >30 параметры считаются значимыми, если ta(d,c)>3.

Критерии существенности (значимости) связи основываются на нормальном распределении признака в исследуемой совокупности.

При n£30 значимость коэффициента регрессии осуществляется с помощью t-критерия Стьюдента

Для параметра а

 

Для параметра b, с

Параметр модели признается статистически значимым, если tр>tкр(определяется по таблице Стьюдента при соответствующем числе степеней свободы и уровня значимости, число степеней свободы n=n-2 где n - число единиц в совокупности.

Процесс построения мат. модели:

1) закл. в выборе вида мат. уравнения и определения параметров этого уравнения;

выбор вида затруднен т.к., набор этих уравнений бесконечен, но в большинстве случаев для описания модели можно аппроксимировать в виде:

y=a0 +b1x1 +b2x2…+bpxp (1)

Данный подход правомерен, если действительно подход имеет устойчивую прямолин. тенденцию изменения.

Если мы изучаем процесс на ограниченном диапазоне изменения факториального признака и на этом диапазоне реальный процесс может быть аппроксимирован прямой линией.

Доказано, что 1 повышает порядок уравнения (1) можно подобрать такое уравнение, что у теоретическое в точности совпадет с у фактическим во всех точках наблюдения. Но практическая ценность такого уравнения очень мала, т.к. она выявляет не закономерность развития изучаемого процесса, появляющееся на фоне случайных колебаний, а сами это сл. Колеб. Теоретически, найден. Уранение регрессии имеет вид:

(2)  , где а0, b1, bp – оценки истинных значений параметров.

Нахождением уравнения (2) решается основная задача теории корреляции, кот. Закл. в том, чтобы на основе наблюд., над большим количеством данных, выяснить как в среднем изменяется ф-я у при изменении части факториальных признаков, которые включены в модель. Полагается что осн. факториальные пр-ли явл. Неизменными.

2)задача теории корреляции закл в том, чтобы определить силу с которой найденная зависимость проявляется среди нарушающих ее воздействий т.е. необх определить:

а)как, насколько значительно включенные в модель факторы влияют на результирующий показатель в целом;

б) определить насколько значительно влияет каждый фактор на результативный показатель.

Дан задачи решаются путем вычисления коэффициентов множественной корреляции, коэф. Парной корреляции и коэф. Частной корреляции.

Определение значений этих коэф. Основано на законе сложения дисперсий, кот. Справедлив. Для ф-ий линейно зависящих от параметров:

, где

общая дисперсия; дисперсия теоретических значений;  остаточная дияперсия.

  Отношение дисперсии теоретических значений у к общей дисперсии называется коэф множ. Детерминац.:

где Rквадрат показывает долю изменения у,кот. Можно объяснить изменением включенных в модель факторов.