14. Численные методы, численное интегрирование, численное решение систем нелинейных уравнений.

Ответ:

Вычислительные (численные) методы — методы решения математических задач в численном виде

Представление как исходных данных в задаче, так и её решения — в виде числа или набора чисел.

Многие численные методы являются частью библиотек математических программ. В системе подготовки инженеров технических специальностей являются важной составляющей.

Основами для вычислительных методов являются:

• решение систем линейных уравнений;

• интерполирование и приближённое вычисление функций;

• численное интегрирование;

• численное решение системы нелинейных уравнений;

• численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений;

• численное решение уравнений в частных производных (уравнений математической физики);

• решение задач оптимизации.

Существует две группы методов решения систем линейных алгебраических уравнений: точные методы позволяют с помощью конечного числа операций получить точные значения неизвестных и включают преобразование системы к простому виду и решение упрощённой системы; методы последовательных приближений на основе начальных приближений позволяют получить «улучшенные» приближённые значения, для которых следует последовательно повторить операцию «улучшения»; методы Монте-Карло позволяют на основании математического ожидания случайных величин получить решение системы

Известный из школьного курса алгебры метод исключения позволяет свести матрицу системы к диагональному или треугольному виду. Схема исключения Гаусса с выбором главного элемента, который необходим чтобы уменьшить вычислительную погрешность, включает прямой ход (собственно процесс исключения) и обратный ход (решение системы с треугольной матрицей). Её компактный вариант используется для определения обратной матрицы, что может быть полезно если в системе линейных уравнений меняется только правая часть и для вычисления определителей[56].Схема Жордана позволяет облегчить обратный ход, а в схеме без обратного хода, которая основана на преобразовании клеточной матрицы  , последний и не требуется. Условие симметричности матрицы позволяет сделать ряд упрощений и воспользоваться методом квадратного корня, в котором матрица системы представляется как произведение нижней треугольной матрицы на транспонированную по отношению к ней матрицу, в котором элементы треугольных матриц определяются по формулам через произведения элементы первоначальной матрицы (при отсутствии условия положительно определённой матрицы некоторые формулы могут содержать мнимые элементы), а система затем решается в два этапа через решение вспомогательных систем построенных на треугольных матрицах. Существуют также метод ортогонализации, основанный на свойствах скалярного произведения, метод сопряжённых градиентов, при котором строится вспомогательная функция, которая образует семейство эллипсоидов с общим центром и для которой необходимо найти вектор, при котором она принимает минимальное значение. Для матриц высокого порядка применяют метод разбиения на клетки, когда задачу сводят к решению задач для матриц низших порядков.

В случае последовательных приближений используется рекуррентная формула

где   — функция, которая зависит от матрицы системы, правой части, номера приближения и предыдущих приближений  , где   — начальный вектор. При этом считается, что метод имеет первый порядок, если функция зависит только от последнего из предыдущих приближений. В этом случае формула   может быть записана в виде  , где  . Для удобства вычислений желательно использовать диагональную или треугольную матрицу  , которую будет удобно обратить. В зависимости от выбора этой матрицы методы называют полношаговыми и одношаговыми, соответственно[63]. К линейным полношаговым методам относят простую итерацию[64], метод Ричардсона[65]; к линейным одношаговым методам — метод Зейделя[66], релаксационный метод[67]; к нелинейным методам — метод скорейшего спуска.