7. Интегральное исчисление. Определенные и неопределенные интегралы. Теорема Ньютона-Лейбница.

Ответ:

Интегральное исчисление – это раздел математического анализа, в котором изучаются интегралы, их свойства, способы вычисления и приложения. Вместе с дифференциальным исчислением оно составляет основу аппарата математического анализа.

Определение 2. Множество всех первообразных для функции на промежутке называется неопределенным интегралом для и обозначается .

Функцию называют подынтегральной функцией для , а произведение — подынтегральным выражением.

Таким образом, . На практике принята более короткая запись: .

Часто говорят: "взять неопределенный интеграл" или "вычислить неопределенный интеграл", понимая под этим следующее: найти множество всех первообразных для подынтегральной функции.

Мы видели, что если функция имеет хоть одну первообразную, то она имеет бесконечно много первообразных. На практике часто приходится искать разность значений первообразной в точках и . Эта разность не зависит от выбора произвольной постоянной . В самом деле, если , то

Итак, , что и требовалось доказать.

Поскольку разность значений первообразной в точках и не зависит от того, какую именно первообразную функции мы выбираем, эту разность называют определенным интегралом от функции по отрезку .

Определение 3. Пусть функция задана на отрезке и имеет на нем первообразную . Разность называютопределенным интегралом функции по отрезку и обозначают . Итак,

Разность записывают в виде , тогда . Числа и называют пределами интегрирования.

Например, одна из первообразных для функции . Поэтому

Остановимся на геометрическом смысле введенных понятий. Пусть является первообразной для . Угловой коэффициент касательной в каждой точке графика функции равен , т. е. . Поэтому задача о нахождении первообразной геометрически означает следующее: зная угловой коэффициент касательной в каждой точке, найти кривую. Так как при параллельном переносе вдоль оси ординат угловой коэффициент касательной в точке с заданной абсциссой не изменяется, то, найдя одну такую кривую, все остальные искомые кривые получают из нее параллельным переносом в направлении оси ординат. Это семейство кривых (рис. 1) и представляет собой геометрическую иллюстрацию неопределенного интеграла.

Определенный интеграл показывает изменение ординаты каждой из кривых при переходе от точки к точке . Так как все эти кривые получаются друг из друга параллельным переносом в направлении оси ординат, то указанное изменение ординаты для всех кривых одно и то же (рис. 2).