3. Линейная алгебра. Матрица и определители, решение системы линейных алгебраических уравнений.

Ответ:

Линейная алгебра — это часть алгебры, содержащая теорию линейных уравнений. Она получила свое дальнейшее развитие после возникновения учений об определителях и матрицах Матрицей называется квадратная или прямоугольная таблица, за- полненная числами. Эти числа называются элементами матрицы. • Элементы матрицы, расположенные по горизонталям, образуют строки матрицы. • Элементы матрицы, расположенные по вертикалям, образуют столбцы матрицы. • Строки нумеруются слева направо, начиная с номера 1, столбцы ну- меруются сверху вниз, начиная с номера 1. • Матрица A , имеющая m строк и n столбцов, называется матрицей размера m на n и обозначается Am n× . • Элемент i j a матрицы { } A a = i j стоит на пересечении i - ой строки и j - го столбца. • Транспонированием матрицы { } A a = i j называется операция, резуль- татом которой является матрица { } T A a = j i . • Каждую матрицу можно умножить на любое число, причем, если k – число, то { }. i j k A k a ⋅ = ⋅ • Матрицы одного и того же размера Am n× и Bm n× можно складывать, причем { } A B a b m n m n i j i j × × + = + . • Операция сложения матриц обладает свойствами A + B = B + A, A + (B + C) = (A + B) + C . • Матрицы Am n× и Bn k× можно перемножать, причем Am×n Bn×k = Cm×k ⋅ , где ∑ = = ⋅ n s ji a si b j

Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (или, линейная система, также употребляется аббревиатура СЛА́У или СЛУ в разных источниках) в линейной алгебре — это система уравнений вида

(1)

Система линейных уравнений от трёх переменных определяет наборплоскостей. Точка пересечения является решением.

Здесь   — количество уравнений, а   — количество неизвестных. x1, x2, …, xn — неизвестные, которые надо определить. a11, a12, …, amn — коэффициенты системы — и b1, b2, … bm — свободнье члены — предполагаются известными[1]. Индексы коэффициентов (aij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b1 = b2 = … = bm = 0), иначе — неоднородной.

Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы (1) — совокупность n чисел c1, c2, …, cn, таких что подстановка каждого ci вместо xi в систему (1) обращает все её уравнения в тождества.

Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.

Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.

Решения c1(1), c2(1), …, cn(1) и c1(2), c2(2), …, cn(2) совместной системы вида (1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:

c1(1) = c1(2), c2(1) = c2(2), …, cn(1) = cn(2).

Совместная система вида (1) называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется недоопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.