2. Основные понятия отношений, графическое представление, свойства отношений.

Ответ:

Бинарным отношением  из множества Ав множество В называется всякое подмножество прямого произведения А на В; если А=В, то говорят о бинарном отношении на множестве А. Обозначение: 

Множество точек плоскости, координаты которых (x,y), образуют упорядоченные пары некоторого бинарного отношения  называется графиком данного бинарного отношения.

Бинарные отношения – это множества, их можно объединять, пересекать, дополнять и т. д.

Бинарное отношение указывает на наличие определенной связи между некоторыми парами объектов.

Отношением, обратным к отношению , называют подмножество прямого произведения  , такое, что 

Так как бинарные отношения являются множествами, то к ним применимы все понятия, которые вводятся для множеств: понятие равенства, включения, а также операции пересечения, объединения и дополнения. В этом разделе мы будем считать, что все отношения заданы на одном и том же множестве X.

Пусть a и b - два бинарных отношения на множестве X. Каждому из них соответствует некоторое множество пар (подмножества и ).

Определение 2.1. Пересечением отношений a и b, заданных на множестве X, называется отношение такое, что:

Пример 2.1. Пересечением отношений "не меньше" и "не равно", определенных на множестве действительных чисел R, является отношение "строго больше":

. Определение 2.2. Объединением отношений a и b, заданных на множестве X, называется отношение , такое, что:

является отношение "быть ребенком".

Определение 2.3. Разностью отношений a и b, заданных на множестве X, называется отношение a\b, такое, что:

Пример 2.3. Разностью отношений "не меньше" и "не больше" на R является отношение "больше":

Пример 2.4. Разностью отношений "быть ребенком" и "быть дочерью", определенных на множестве всех людей, является отношение "быть сыном".

Определение 2.4. Дополнением отношения a , определенного на множестве X, называется отношение, определяемое подмножеством пар из XxX, не входящих в :

x y .

Отметим, что приведенные выше определения являются просто перефразировками соответствующих определений для обычных множеств и все свойства теоретико-множественных операций пересечения, объединения и дополнения, имеющие место для произвольных множеств, выполняются и для отношений.

Кроме теоретико-множественных операций для отношений вводятся некоторые дополнительные операции, которые связаны с их специфической структурой. Мы рассмотрим две такие операции.

Определение 2.5. Если в каждой упорядоченной паре, принадлежащей отношению a, поменять местами первую и вторую компоненты, то получим новое отношение, которое называется обратным для отношения a и обозначается через a-1:

.

Пример 2.6. Обратным для отношения "не меньше" на множестве действительных чисел R является отношение "меньше":

.

Пример 2.7. Обратным для отношения "быть родителем" на множестве людей является отношение "быть ребенком".

Граф отношения a-1 получается из графа отношения переориентацией всех дуг (рис. 4).

(а) Отношение a (б) Отношение a-1