4.Вычисление весовых коэффициентов по способу Ганзена.

Способ применяется при вычислении всех весовых коэффициентов Q. В нем используется свойство симметричности весовых коэффициентов относительно квадратичной диагонали и равенство нулю большинства свободных членов систем уравнений.

Примем систему из 3 нормальных уравнений

Эквивалентная система

Подставив в нее элиминационные коэффициенты получим систему из которой

Система уравнений для 2 столбца(строки) весовых коэффициентов:

Эквивалентная система для весовых коэффициентов 2 строки

Подставив в нее элиминационные коэффициенты получим

Для первой строки весовых коэффициентов имеем

или , отсюда

Необходимые для вычисления значения весовых коэффициентов Q₃₂, Q₃₁, Q₂₁ находят, пользуясь свойством симметричности: Q₃₂= Q₂₃, Q₃₁= Q₁₃, Q₂₁= Q₁₂

5. Принцип наименьших квадратов.

Получение наиболее надежных значений неизвестных и их оценка точности составляют задачу уравнительных вычислений (уравнивания).

Уравнивание выполняют по методу(принципу) наименьших квадратов (м. н. к.), согласно которому измеренные величины получают поправки v_i , удовлетворяющие условию [pv²] = min где р_i — вес измерений.

Карлом Гауссом и русским математиком Андреем Марковым доказано, что этот принцип приводит к наилучшим оценкам искомых неизвестных.

Достоинства принципа наименьших квадратов

1) наличие в условии минимума вторых степеней v_i ограничивает крупные поправки, поэтому при равноточно измеренных величинах поправки более пли менее равномерно распределяются между результатами измерений;

2) при неравноточных результатах измерений веса р_i при v_i² уменьшают поправки к более точным и, наоборот, увеличивают поправки к менее точным результатам.

7. Основные пути решения задачи уравнивания.\.

Задача уравнивания заключается в том, чтобы, используя все измерения, получить однозначно все неизвестные.

Получение наиболее надежных значений неизвестных и их оценка точности составляют задачу уравнительных вычислений (уравнивания).

Уравнивание выполняют по методу наименьших квадратов (м. н. к.), согласно которому измеренные величины получают поправки v_i, удовлетворяющие условию [pv²] = min где р_i — вес измерений. Этот принцип приводит к наилучшим оценкам искомых неизвестных.

Существуют 2 основных способа уравнивания:

1) параметрический - из решения нормальных уравнений получают непосредственно уравненные значения искомых величин n

2) коррелатный - сначала вспомогательные множители (коррелаты), а затем искомые величины n их функции.

Оба способа уравнивания приводят к одинаковым результатам, но часто обладают различной трудоемкостью при решении одной и той же задачи. Например, при уравнивании полигонометрического хода, имеющего 10 определенных пунктов, параметрическим способом придется совместно решать 20 уравнений, а при коррелатном всего 3.

Если задача решается на ЭВМ, то число совместно решаемых уравнений не является определяющим критерием выбора способа уравнивания. Здесь учитывается проста составления исходных уравнений.

Существуют и комбинированные способы уравнивания, сочетающие достоинства одного и другого.