Тема. Основы теории погрешностей

Цель

Ознакомиться с основными понятиями теории погрешностей.

Задача

Дан ряд . Найти сумму ряда аналитически. Вычислить значения частичных сумм ряда и найти величину погрешности при значениях N = 10, 10², 10³, 10⁴.

Вариант			Вариант
0			5
1			6
2			7
3			8
4			9

Алгоритм решения и реализация в MS EXCEL

Алгоритм

1. Найти сумму ряда аналитически.

2. Используя функцию , вычислить значения частичных сумм ряда при указанных значениях N.

3. Для каждого N вычислить величину абсолютной погрешности.

Пусть а – точное значение, а* – приближенное значение некоторой величины. Абсолютной погрешностью приближенного значения а* называется величина .

4. Определить количество верных цифр в .

Значащими цифрами числа а* называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева.

Значащую цифру числа а* называют верной, если абсолютная погрешность числа не превышает единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Приближенное число можно представить в виде конечной десятичной дроби

.

Тогда, если цифра в изображении числа а* верная, то выполняется неравенство , , чаще всего .

Аналитическое решение

Дан ряд

.

Реализация в MS Excel

1. Для расчета суммы ряда создать вспомогательный столбец n: Правка – Заполнить – Прогрессия…:

2. Провести расчет:

Вид рабочего листа с результатом расчета

Вид рабочего листа с формулами

Примечания: Фигурные скобки означают, что соответствующая формула выводится массивом, т. е. с использованием комбинации Ctrl + Shift + Enter.

ТЕМА Интегрирование по методу Симпсона. 

Симпсон Томас (1710-1761) – английский математик вывел следующую формулу:

Формула трапеций дает результат, сильно зависящий от величины шага h, что сказывается на точности вычисления определенного интеграла особенно в тех случаях, когда функция имеет немонотонный характер. Можно предположить повышение точности вычислений, если вместо отрезков прямых, заменяющих криволинейные фрагменты графика функции f(x), использовать, например, фрагменты парабол, проводимых через три соседних точки графика. Подобная геометрическая интерпретация лежит в основе метода Симпсона для вычисления определенного интеграла. Весь интервал интегрирования [a,b] разбивается на четное число одинаковых отрезков n, длина отрезка также будет равна h=(b-a)/n. Формула Симпсона имеет вид:

В формуле выражения в скобках представляют собой суммы значений подынтегральной функции соответственно на концах нечетных и четных внутренних отрезков.

Остаточный член формулы Симпсона пропорционален уже четвертой степени шага

Для вычисления определенного интеграла методом Симпсона также несложно составить процедуру-функцию с параметрами, аналогичными параметрам функции, реализующей метод трапеций.

АЛГОРИТМ

3. Разбить отрезок на частичных отрезков (построить на отрезке сетку с шагом ): ; , , .

5. Посчитать координаты средних точек частичных отрезков

.

6. Вычислить значение функции в узлах сетки .

7. Вычислить значение функции в средних точках .

4. Вычислить площади частичных трапеций по формуле:

.

8. Найти приближенное значение интеграла

.

9. Разбить отрезок на частичных отрезков (построить на отрезке сетку с шагом ): ; , , . Найти приближенное значение интеграла с новым шагом .

10. Произвести оценку погрешности по формуле Рунге ( – порядок точности квадратурной формулы, для формулы Симпсона )

.

11. Уменьшать шаг, пока погрешность не станет меньше требуемой точности .

12. Для проверки вычислить точное значение интеграла по формуле Ньютона–Лейбница.

Используем метод Симпсона для оценки величины определенного интеграла, оформленный в виде процедуры-функции Simpson.

Program int_test;

Uses Crt, Mathlib;

{Функция для вычисления подынтегрального выражения}

Function f (x: real) : real;

begin

f := 1/sqrt(2*pi)*exp(-x*x/2);

end;

{Вычисление определенного интеграла по методу Симпсона}

Function Simpson (a,b:real; {Пределы интегрирования}

n : integer; {Число шагов}

f : mpd_func): real; {Имя функции, вычисляющей

подынтегральное выражение}

var x, h, sum1, sum2 : real;

i : integer;

begin

h := (b-a)/n;

sum1 := 0.0; sum2 := 0.0;

for i := 1 to n-1 do begin

x := a+i*h;

if i mod 2 = 0 then

{Сумма значений подынтегральной функции на

концах четных внутренних отрезков}

sum2 := sum2 + f(x)

else

{Сумма значений подынтегральной функции на

концах нечетных внутренних отрезков}

sum1 := sum1 + f(x)

end;

Simpson := h/3*(f(a)+f(b)+4*sum1+2*sum2)

end;

var

R, alfa, beta : real;

n : integer;

begin

Clrscr;

Write('Введите параметры alfa и beta: ');

Readln(alfa, beta);

Write('Введите число шагов n: ');

Readln(n);

R := Simpson(0,alfa,n,f)-Simpson(0,beta,n,f);

Writeln;

Writeln('Результат: R = ',R:6:4);

end.

Результат выполнения программы на экране будет иметь вид

Введите параметры alfa и beta: 1.5 0.5

Введите число шагов n: 10

Результат: R = 0.2417

ЗАДАНИЕ. Вычислить по формуле Симпсона приближенное значение определенного интеграла   для n=10.

Контрольные вопросы

 1. Что такое определенный интеграл?

2. Почему наряду с аналитическими методами используются численные методы вычисления определенных интегралов.

3. В чем заключается сущность основных численных методов вычисления определенных интегралов.

4. Влияние количества разбиений на точность вычисления определенного интеграла численными методами.

5. Как вычислить интеграл любым методом с заданной точностью?

ТЕМА. Квадратурные формулы наивысшей алгебраической точности (формула Гаусса)

Рассмотренные выше квадратурные формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона применяются для интегрирования функций f(x) невысокой степени гладкости (не выше f(x)  C²[a, b]). Для данного класса функций они просты и удобны. И как показано выше, для повышения точности результатов, как один из подходов, всегда стремятся отрезок интегрирования разбивать на достаточно большее число частей. Однако практикой доказано, что для класса функций высокой степени гладкости (f(x)  C^k[a,b], k>2) точность этих квадратурных формул не повышается с ростом k, т.е. имеет место так называемое явление насыщения численного метода. Для такого класса функций разработаны другие квадратурные формулы такого же типа, что и раньше , но посредством их структурного реформирования путем подбора в них (2n+1) параметров: n узлов x_i, n коэффициентов q_i и самого числа n.

Все эти параметры выбираются так, чтобы квадратурная сумма возможно меньше отличалась от точного значения интеграла для всех функций f из некоторого класса. Используя математический аппарат в виде, так называемых, полиномов Лежандра, построенных на отрезке [–1, 1] получаем рабочую квадратурную формулу Гаусса:

, (33)

которая является точной (R = 0) для всех полиномов степени N = 2n – 1.

Корни вспомогательного полинома Лежандра расположены симметрично относительно нуля, соответствующие веса совпадают и они всегда положительные.

Для практических целей искомые коэффициенты q_i и абсциссы _i для произвольных n табулированы для формулы (33).

n	i	qi
. . . 4	1 = 4 = 0,861136312 2 = 3 = 0,339981044	q1 = q4 = 0,347854845 q2 = q3 = 0,652145155
5	1 = 5 = 0,906179846 2 = 4 = 0,538469310 3 = 0	q1 = q5 = 0,236926885 q2 = q4 = 0,478628670 q3 = 0,568888889
. . .

При вычислении интеграла следует сделать замену переменной интегрирования t = x(b – a)/2 + (a + b)/2. Тогда

, (34)

где t_k = x_k(b – a)/2 + (b + a)/2, x_k – узлы формулы (33) на отрезке [–1;1] и q_k – соответствующие им коэффициенты, взятые из таблицы.

Пример. По формуле Гаусса при n = 5 вычислить .

Решение. Сделаем замену переменной x = 1/2+ t 1/2, тогда

.

Составим таблицу значений подынтегральной функции.

i	i	f(i)	qi
1	–0,9061179846	0,24945107	0,236926885
2	–0,538469310	0,23735995	0,478628670
3	0	0,2	0,568888889
4	0,538469310	0,15706211	0,478628670
5	0,906179846	0,13100114	0,236926885

По формуле Гаусса (33) определим:

I = 2 ;

I_Точное= /4 = 0,785398163… метод Симпсона с шагом h = 0,1 даст погрешность в шестом разряде.

ТЕМА. Методы Монте-Карло. 

Методы статистических испытаний, называемые также методами Монте-Карло, применяются к решению разнообразных задач вычислительной математики и, в том числе, для вычисления интегралов. Рассмотрим вначале один из простых вариантов метода Монте-Карло, который можно интерпретировать как статистический метод прямоугольников (рис. 5.5).

На отрезке интегрирования   выберем N случайных точек  , являющихся значениями случайной величины x с равномерным распределением на данном отрезке. Для каждой точки вычислим площадь прямоугольника, одна сторона которого равна  , а вторая равна значению функции в данной точке  :  . Вследствие случайности узла  , значение площадей   также будет носить случайный характер. В качестве приближенного значения интеграла можно принять результат усреднения площадей  :

 

.         (5.33)

 

Погрешность вычисления интеграла будет уменьшаться с ростом числа испытаний N по закону   [8].

Полученная формула формально совпадает с формулой правых прямоугольников (5.17), но отличие состоит в том, что в формуле (5.17) узлы интегрирования расположены регулярно, а в данном случае расположение узлов носит случайный характер.

Формула (5.33) непосредственно обобщается на кратные интегралы

 

,

 

где   – объем области интегрирования. Например, для двукратного интеграла с прямоугольной областью интегрирования имеем

 

.              (5.34)

 

Теоретическое обоснование рассмотренного варианта метода Монте-Карло для вычисления интегралов состоит в следующем. Пусть x – случайная величина с равномерным распределением на отрезке  . Это означает, что ее плотность вероятности задается соотношением

 

 

Тогда любая функция   также будет случайной величиной, и ее математическое ожидание равно

 

.

 

Или, читая это равенство наоборот, получим

 

.

 

Если провести серию N независимых испытаний, в которых генерируются случайные числа   и вычисляются значения  , то для оценки математического ожидания   можно использовать выборочное среднее результатов независимых реализаций  :

 

,

 

что в итоге приводит к соотношению

 

,

 

которое совпадает с формулой (5.33).

В другом варианте метода Монте-Карло исходный интеграл приводится к виду

 

,

 

где   на интервале  . Генерируются пары значений   и   двух случайный величин x и y, которые можно рассматривать как координаты точек в единичном квадрате (рис. 5.6). При равномерном распределении точек в квадрате за приближенное значение интеграла принимается отношение количества точек S, попавших под кривую  , к общему числу испытаний (точек) N

 

.

 

Этот алгоритм также обобщается на кратные интегралы.

Для использования методов Монте-Карло при вычислении интегралов, как и в других их приложениях, необходимо вырабатывать последовательности случайных чисел с заданным законом распределения вероятностей. Наиболее распространенный способ выработки случайных чисел на компьютере состоит в использование специального алгоритма получения таких чисел. Поскольку эти числа генерируются по заданному алгоритму, то получаемую последовательность (одну и ту же) можно воспроизвести сколько угодно раз. В этом смысле получаемые числа не совсем случайны (псевдослучайны). Тем не менее, в рамках данной последовательности, получающиеся числа обладают всеми необходимыми статистическими свойствами, характерными для значений истинно случайной величины.

Контрольные вопросы

1. Достоинства и недостатки метода Монте - Карло.

2. Какова идея вычисления определенного интеграла методом Монте-Карло?

3. Основные требования к генераторам случайных чисел.

ТЕМА. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И АППРОКСИМАЦИЯ

В вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций, т.е. построение по заданной функции другой (как правило, более простой), значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек. Причем интерполяция имеет как практическое, так и теоретическое значение. На практике часто возникает задача о восстановлении непрерывной функции по ее табличным значениям, например полученным в ходе некоторого эксперимента. Для вычисления многих функций оказывается эффективно приблизить их полиномами 

Пусть на отрезке [a,b] задана функция ƒ(x). Задача интерполяции (или интерполирования) состоит в построении функции g(x), совпадающей с заданной ƒ(x) в некотором наборе точек {x₁,x₂,...,x_n+1} из отрезка [a,b] (эти точки называются узлами интерполяции), т.е. должны выполняться условия:

g(x_k)=y_k, k=1,2,...,n+1,

где y_k - известные значения функции ƒ(x) в точках x_k. Функция g(x) называется интерполянтом функции ƒ(x).

Пример интерполяции с четырьмя узлами приведен на следующем рисунке

из которого видно, что узлы интерполяции не обязательно должны располагаться равномерно на отрезке [a,b].

На качество приближения сильное влияние оказывает количество и расположение узлов, а также гладкость функции ƒ(x). 

рассмотрим только линейную интерполяцию, т.е. такую, при которой функция g(x) разыскивается в виде линейной комбинации некоторых функций

где для k=1,2,...,n+1: φ_k(x) - заданные функции, а a_k - искомые коэффициенты.

Ясно, что из постановки задачи интерполяции (т.е. из совпадения значений интерполянта g(x) и интерполируемой функции ƒ(x) в точках x_k) следует, что коэффициенты a_k определяются из решения следующей системы линейных алгебраических уравнений:

Число узлов интерполяционного полинома всегда должно быть на единицу больше его степени. Это понятно также из следующих простых соображений: через две точки проходит единственная прямая, через три - единственная парабола и т.д. 

Задача интерполяции

Пусть функция   задана таблицей своих значений   на интервале  :

,  ,                                                       (3.1)

Задача интерполяции - найти функцию  , принимающую в точках   те же значения  .

Условие интерполяции:                                                                                           (3.2)

При этом предполагается, что среди значений   нет одинаковых. Точки   называют узлами интерполяции.

Если   ищется только на отрезке   - то это задача интерполяции, а если за пределами первоначального отрезка, то это задача экстраполяции.

• Интерполяция – определение промежуточных значений функции по известному дискретному набору значений функции.

• Экстраполяция – определение значений функции за пределами первоначально известного интервала.

• Аппроксимация – определение в явном виде параметров функции, описывающей распределение точек.

Задача нахождения интерполяционной функции   имеет много решений, так как через заданные точки  можно провести бесконечно много кривых, каждая из которых будет графиком функции, для которой выполнены все условия интерполяции. Для практики важен случай аппроксимации функции многочленами:

,             (3.3)

При этом искомый полином называется интерполяционным полиномом.

При построении одного многочлена для всего рассматриваемого интервала  , для нахождения коэффициентов многочлена необходимо использовать все уравнения системы (3.3). Данная система содержит   уравнение, следовательно, с ее помощью можно определить   коэффициент. Поэтому максимальная степень интерполяционного многочлена  , и многочлен принимает вид:

,                          (3.4)

Аппроксимировать – это означает "приближённо заменять". Допустим, известны значения некоторой функции в заданных точках. Требуется найти промежуточные значения этой функции. Это так называемая задача о восстановлении функции. Кроме того, при проведении расчетов сложные функции удобно заменять алгебраическими многочленами или другими элементарными функциями, которые достаточно просто вычисляются (задача о приближении функции).

Постановка задачи интерполяции

На интервале [a, b] заданы точки x_i, i=0, 1,..., N; a ≤ x _i ≤ b, и значения неизвестной функции в этих точках f_i, i=0, 1,...., N. Требуется найти функцию F(x), принимающую в точках x_i те же значения f_i. Точки   называются узлами интерполяции, а условия F(x_i)= f_i. – условиями интерполяции.При этом F(x) ищем только на отрезке [a,b]. Если необходимо найти функцию вне отрезка, то - это задача экстраполяции. Пока мы будем рассматривать только интерполяционные задачи.

Задача имеет много решений, т.к. через заданные точки (x_i, f_i), i=0, 1,..., N, можно провести бесконечно много кривых, каждая из которых будет графиком функции, для которой выполнены все условия интерполяции. Для практики важен случай аппроксимации функции многочленами, т.е.  .

Все методы интерполяции можно разделить на локальные и глобальные. В случае локальной интерполяции на каждом интервале [x_i–1, x_i] строится отдельный полином. В случае глобальной интерполяции отыскивается единый полином на всем интервале [a, b]. При этом искомый полином называется интерполяционным полиномом.

Локальная интерполяция

Кусочно–постоянная интерполяция

На каждом отрезке   интерполяционный многочлен равен константе, а именно левому или правому значению функции.

Для левой кусочно-линейной интерполяции  , т.е.

Для правой кусочно-линейной интерполяции  , т.е.

Легко понять, что условия интерполяция выполняются. Построенная функция является разрывной), что ограничивает ее применение. Для левой кусочно-линейной интерполяции имеем графическое представление:

Кусочно–линейная интерполяция

На каждом интервале [x_i–1, x_i] функция является линейной  . Значения коэффициентов находятся из выполнения условий интерполяции в концах отрезка:  . Получаем систему уравнений:  , откуда находим    . Следовательно, функцию F(z) можно записать в виде:

, т.е.

Или F(x) = k_i * (x - x_i-1) + f_i-1,  k_i = (f_i - f_i-1) / (x_i - x_i-1), x_i-1 ≤ x ≤ x_i, i=1,2,...,N-1

При использовании линейной интерполяции сначала нужно определить интервал, в который попадает значение x, а затем подставить его в формулу.

Итоговая функция будет непрерывной, но производная будет разрывной в каждом узле интерполяции. Погрешность такой интерполяции будет меньше, чем в случае кусочно–постоянной интерполяции. Иллюстрация кусочно–линейной интерполяции приведена на рисунке

Пример: Заданы значений некоторой функции:

x	0	2	3	3.5
f	-1	0.2	0.5	0.8

Требуется найти значение функции при z=1 и z=3.2 по кусочно–постоянной и кусочно–линейной интерполяции.

Решение. Точка z=1 принадлежит первому локальному отрезку [0, 2], т.е.   и, следовательно, по формулам левой кусочно–постоянной интерполяции F(1) = f₀ = –1, по формулам правой кусочно–постоянной интерполяции F(1)=f₁=0.2. Воспользуемся формулами кусочно–линейной интерполяции:

.

Точка z=3.2 принадлежит третьему интервалу [3, 3.5], т.е.   и, следовательно, по формулам левой кусочно – постоянной интерполяции F(3.2)= =0.5, по формулам правой кусочно – постоянной интерполяции F(3.2)=  =0.8. Воспользуемся формулами кусочно–линейной интерполяции:

Кубический интерполяционный сплайн

Слово сплайн (английское слово "spline") означает гибкую линейку, используемую для проведения гладких кривых через заданные точки на плоскости. Форма этого универсального лекала на каждом отрезке описывается кубической параболой. Сплайны широко используются в инженерных приложениях, в частности, в компьютерной графике. Итак, на каждом i–м отрезке [x_i–1, x_i], i=1, 2,…, N, решение будем искать в виде полинома третьей степени:

S_i(x)=a_i+b_i(x–x_i)+c_i(x–x_i)²/2+d_i(x–x_i)³/6

Неизвестные коэффициенты a_i, b_i, c_i, d_i, i=1, 2,..., N, находим из:

• условий интерполяции: S_i(x_i)=f_i, i=1, 2,..., N; S₁(x₀)=f₀,

• непрерывности функции S_i(x_i–1)=S_i–1(x_i–1), i=2, 3,..., N,

• непрерывности первой и второй производной:

S ^/_i(x_i–1)=S ^/_i–1(x_i–1), S ^//_i(x_i–1)=S ^//_i–1(x _i–1), i=2, 3,..., N.

Учитывая, что  , для определения 4N неизвестных получаем систему 4N–2 уравнений:

a_i=f_i, i=1, 2,..., N,

b_i h_i – c_ih_i²/2 + d_i h_i³/6=f_i – f_i–1, i=1, 2,..., N,

b_i – b_i–1 = c_i h_i – d_i h_i²/2, i=2, 3,..., N,

d_i h_i = c_i – c_i–1 , i=2, 3,..., N.

где h_i=x_i – x_i–1. Недостающие два уравнения выводятся из дополнительных условий: S ^//(a)=S ^//(b)=0. Можно показать, что при этом  . Из системы можно исключить неизвестные b_i , d_i , получив систему N+1 линейных уравнений (СЛАУ) для определения коэффициентов c_i:

c₀ =0, c_N =0,

h_ic_i–1+2(h_i+h_i+1)c_i+h _i+1c_i+1=6 , i=1, 2,…, N–1. (1)

После этого вычисляются коэффициенты b_i, d_i:

, i=1, 2,..., N. (2)

В случае постоянной сетки h_i=h эта система уравнений упрощается.

Данная CЛАУ имеет трехдиагональную матрицу и решается методом прогонки.

Коэффициенты   определяются из формул:

Для вычисления значения S(x) в произвольной точке отрезка z∈[a, b] необходимо решить систему уравнений на коэффициенты c_i, i=1,2,…, N–1, затем найти все коэффициенты b_i, d_i. Далее, необходимо определить, на какой интервал [x_i0, x_i0–1] попадает эта точка, и, зная номер i₀, вычислить значение сплайна и его производных в точке z

S(z)=a_i0 +b_i0(z–x_i0)+c_i0(z–x_i0)²/2+d_i0(z–x _i0)³/6

S ^/(z)=b_i0+c_i0(z–x_i0)+d_i0(z–x _i0)²/2, S ^//(z)=c_i0+d_i0(z–x _i0).

Пример.

	x0,f0	x1,f1	x2,f2	x3,f3	x4,f4
х	0	¼	1/2	3/4	1
f	1	2	1	0	1

Требуется вычислить значения функции в точках 0.25 и 0.8, используя сплайн – интерполяцию.

В нашем случае: h_i=1/4,  .

Выпишем систему уравнений для определения  :

Решая эту систему линейных уравнений, получим:  .

Рассмотрим точку 0.25, которая принадлежит первому отрезку, т.е.  . Следовательно, получим, 

Рассмотрим точку 0.8, которая принадлежит четвертому отрезку, т.е.  .

Следовательно, 

Глобальная интерполяция

В случае глобальной интерполяции отыскивается единый полином на всем интервале [a, b], т.е. строится полином, который используется для интерполяции функции f(x) на всем интервале изменения аргумента x. Будем искать интерполирующую функцию в виде полинома (многочлена) m–ой степени P_m(x)=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_m x^m. Какова должна быть степень многочлена, чтобы удовлетворить всем условиям интерполяции? Допустим, что заданы две точки: (x₀, f₀) и (x₁, f₁), т.е. N=1. Через эти точки можно провести единственную прямую, т.е. интерполирующей функцией будет полином первой степени P₁(x)=a₀+a₁x. Через три точки (N=2) можно провести параболу P₂(x)=a₀+a₁x+a₂x² и т.д. Рассуждая таким способом, можно предположить, что искомый полином должен иметь степень N .

Для того, чтобы доказать это, выпишем систему уравнений на коэффициенты. Уравнения системы представляют собой условия интерполяции в при каждом x=x_i:

Данная система является линейной относительно искомых коэффициентов a₀, a₁, a₂,…, a_N. Известно, что СЛАУ имеет решение, если ее определитель отличен от нуля. Определитель данной системы

носит имя определителя Вандермонда. Из курса математического анализа известно, что он отличен от нуля, если x_k≠ x_m (т.е. все узлы интерполяции различные). Таким образом, доказано, что система имеет решение.

Мы показали, что для нахождения коэффициентов  a₀, a₁, a₂,…, a_N надо решить СЛАУ, что является сложной задачей. Но есть другой способ построения полинома N–й степени, который не требует решения такой системы.

Полином Лагранжа

Решение ищем в виде  , где l_i(z) – базисные полиномы N–й степени, для которых выполняется условие:  . Убедимся в том, что если такие полиномы построены, то L_N(x) будет удовлетворять условиям интерполяции:

.

Каким образом построить базисные полиномы? Определим

, i=0, 1,..., N.

Легко понять, что

, и т.д.

Функция l_i(z) является полиномом N–й степени от z и для нее выполняются условия "базисности":

=0, i≠k;, т.е. k=1,…,i-1 или k=i+1,…,N.

.

Таким образом, нам удалось решить задачу о построении интерполирующего полинома N– й степени, и для этого не нужно решать СЛАУ. Полином Лагранжа можно записать в виде компактной формулы:  . Погрешность этой формулы можно оценить, если исходная функция g(x) имеет производные до N+1 порядка:

.

Из этой формулы следует, что погрешность метода зависит от свойств функции g(x), а также от расположения узлов интерполяции и точки z. Как показывают расчетные эксперименты, полином Лагранжа имеет малую погрешность при небольших значениях N<20. При бόльших Nпогрешность начинает расти, что свидетельствует о том, что метод Лагранжа не сходится (т.е. его погрешность не убывает с ростом N).

Рассмотрим частные случаи. Пусть N=1, т.е. заданы значения функции только в двух точках. Тогда базовые полиномы имеют вид:

, т.е. получаем формулы кусочно–линейной интерполяции.

Пусть N=2. Тогда: 

В результате мы получили формулы так называемой квадратичной или параболической интерполяции.

Пример: Заданы значений некоторой функции:

x	0	2	3	3.5
f	-1	0.2	0.5	0.8

Требуется найти значение функции при z=1, используя интерполяционный полином Лгранжа. Для этого случая N=3, т.е. полином Лагранжа имеет третий порядок. Вычислим значения базисных полиномов при z=1:

Подбор эмпирических формул

При интерполировании функций мы использовали условие равенства значений интерполяционного полинома и данной функции в узлах интерполяции. Если же исходные данные получены в результате опытных измерений, то требование точного совпадения не нужно, так как данные не получены точно. В этих случаях можно требовать лишь приближенного выполнения условий интерполяции  . Это условие означает, что интерполирующая функция F(x) проходит не точно через заданные точки, а в некоторой их окрестности, так, например, как это показано на рис.

Тогда говорят о подборе эмпирических формул. Построение эмпирической формулы состоит из двух этапов6 подбора вида этой формулы  , содержащей неизвестные параметры  , и определение наилучших в некотором смысле этих параметров. Вид формулы иногда известен из физических соображений (для упругой среды связь между напряжением и деформацией) или выбираются из геометрических соображений: экспериментальные точки наносятся на график и примерно угадывается общий вид зависимости путем сравнения полученной кривой с графиками извесиных функций. Успех здесь в значительной степени определяется опытом и интуицией исследователя.

Для практики важен случай аппроксимации функции многочленами, т.е.  .

После того, как выбран вид эмпирической зависимости степень близости к эмпирическим данным определяется, используя минимум суммы квадратов отклонений вычисленных и экспериментальных данных.

Метод наименьших квадратов

Пусть для исходных данных x_i, f_i, i=1,…,N (нумерацию лучше начинать с единицы), выбран вид эмпирической зависимости:   с неизвестными коэффициентами  . Запишем сумму квадратов отклонений между вычисленными по эмпирической формуле и заданными опытными данными:

.

Параметры   будем находить из условия минимума функции  . В этом состоит метод наименьших квадратов (МНК).

Известно, что в точке минимума все частные производные от   по   равны нулю:

 (1)

Рассмотрим применение МНК для частного случая, широко используемого на практике. В качестве эмпирической функции рассмотрим полином

.

Формула (1) для определения суммы квадратов отклонений примет вид:

 (2)

Вычислим производные:

Приравнивая эти выражения нулю и собирая коэффициенты при неизвестных  , получим следующую систему линейных уравнений:

Данная система уравнений называется нормальной. Решая эту систему линейных уравнений, получаем коэффициенты  .

В случае полинома первого порядка m=1, т.е.  , система нормальных уравнений примет вид:

При m=2 имеем:

Как правило, выбирают несколько эмпирических зависимостей. По МНК находят коэффициенты этих зависимостей и среди них находят наилучшую по минимальной сумме отклонений.

Пример. Заданы координаты точек:

x	-5	-3.5	-2	1.5	3.25	5
f	0.5	1.2	1.4	1.6	1.7	1.5

т.е. N=6. Требуется найти эмпирические зависимости: линейную  , квадратичную  , гиперболическую  по методу МНК и выбрать среди них наилучшую по наименьшей сумме квадратов отклонений.

Система нормальных уравнений для линейной зависимости:

Учитывая, что N=6,  , получим

Решая систему линейных уравнений, получим  . Следовательно, линейная зависимость имеет вид:  .

Вычислим сумму квадратов отклонений:  .

Рассмотрим квадратичную зависимость. Система нормальных уравнений имеет вид

Найдем неподсчитанные суммы: 

Решая СЛАУ, получим 

Следовательно, квадратичная зависимость имеет вид:  .

Вычислим сумму квадратов отклонений:  .

Выпишем систему нормальных уравнений для гиперболической зависимости. Согласно МНК находим сумму квадратов отклонений:

. Составляем систему нормальных уравнений:

Или

Учитывая, что  , получим

Сумма квадратов отклонений:

Из трех зависимостей выбираем наилучшую, т.е. квадратичную.