2.2 Пример эконометрического исследования

На основе статистических данных по показателям влияния уровня средней заработной платы и индекса потребительских цен на уровень бедности населения 1998 по 2015 год проводится эконометрическое исследования в соответствие с методикой п.2.1(таблица 1).

Таблица 1

Зависимость показателя уровня бедности от средней заработной платы и индекса потребительских цен в России (источник Росстат)

Годы	Средняя заработная плата, руб.	Индекс потребителских цен, %	Численность населения с денежными доходами ниже величины прожиточного минимума, млн. чел.
1998	1051	101,51	34,3
1999	1523	108,38	41,6
2000	2223	102,33	42,3
2001	3240	102,76	40,0
2002	4360	103,09	35,6
2003	5499	102,4	29,3
2004	6740	101,75	25,2
2005	8555	102,62	25,4
2006	10634	102,43	21,6
2007	13593	101,68	18,8
2008	17290	102,31	19,0
2009	18638	102,37	18,4
2010	20952	101,64	17,7
2011	23369	102,37	17,9
2012	26629	100,5	15,4
2013	29792	100,97	15,5
2014	32495	100,59	16,1
2015	34030	104,11	19,2

Представление исходных данных в MS Excel представлено в таблице 2.

Таблица 2

Представление исходных данных в MS Excel

1. Спецификация модели уравнения регрессии включает графический анализ корреляционной зависимости зависимой переменной (х₁ – средняя заработная плата, х₂ – индекс потребительских цен) от каждой объясняющей переменной (у – уровень бедности, численность населения с денежными доходами ниже величины прожиточного минимума).

Исходные данные представим графически (Рисунок 1, 2).

Рисунок 1. Уровень бедности от Х1 (средняя заработная плата)

Рисунок 2. Уровень бедности от Х2 (индекса потребительских цен, %)

2. Параметризация уравнения регрессии.

Результаты регрессионного анализа представлены на рисунке 3.

Рисунок 3. Результаты регрессионного анализа

Искомое уравнение имеет вид

У= -116,47-0,0063х₁ +1,472 х₂+ е.

Коэффициент 0,0063 показывает, что при снижении заработной платы на 1 усл.ед уровень бедности увеличивается в среднем на 0,0063усл.ед.

Коэффициент 1,472 показывает, что при росте индекса цен 1 усл.ед уровень бедности увеличивается в среднем на 1,472 усл.ед.

3. Верификация уравнения регрессии проводится на основе результатов автоматизированного регрессионного анализа по следующим показателям: «R-квадрат», «Значимость F», «P-значение» (по каждому параметру регрессии), а также по графикам подбора и остатков.

Значимость коэффициентов полученной модели проверяется по t-тесту:

Р-значение (b₀)= 0,141>0,05;

Р-значение (b₁)= 0,000001 < 0,05;

Р-значение (b₂ )= 0,060602>0,05.

При этом b₀ и b₂ не значимы, что не считается критически с точки зрения качества модели.

Следовательно, коэффициенты значимы при 5% уровне значимости. Таким образом, коэффициенты регрессии значимы и модель адекватна исходным данным.

Качество модели оценивается коэффициентом детерминации R². Величина R²= 0,7762 означает, что факторами средней заработной платы и индексом потребительских цен можно объяснить 77,62% вариации (разброса) показателя уровня бедности населения.

Значимость R² проверяется по F – тесту:

Значимость F= 0,000001< 0,05.

Следовательно, R² значим при 5%-ном уровне значимости.

Отклонения (остатки) e и графический анализ остатков представлен на следующих рисунках:

Рисунок 4. Графическое изображение остатков по наблюдениям

Из рисунка 4 видно: что есть нелинейная зависимость в остатках.

Рисунок 5. Графическое изображение фактических и предсказанных данных

Из рисунка 5 видно: частое пересечение Y и Y^

Рисунок 6. Анализ характера зависимости между остатками и предыдущими значениям

Из рисунка 6 в видно: что есть нелинейная зависимость между остатками и предыдущими значениям

Рисунок 7. Анализ остатков от предсказанного У

Из рисунка 7 видно: добавленные линии тренда на графиках имеют несущественный наклон, поэтому можно предположить отсутствие проблем гетероскедастичности.

Анализ наличия автокорреляции остатков проводится по тесту Дарбина-Уотсона. Для вычисления статистики Дарбина-Уотсона необходимы следующие данные, которые представлены в таблице 3.

Искомое уравнение имеет виду У= 116,47-0,0063х₁ +1,472 х₂+ е.

Таблица 3

Анализ наличия автокорреляции остатков проводится по тесту Дарбина-Уотсона

t	X1	X2	y	et	et-1	et ^2	(et-et-1)^2
1	1051	101,51	34,3	1,9722	-	3,8896	-
2	1523	108,38	41,6	-0,5446	1,9722	0,2966	6,3343
3	2223	102,33	42,3	9,5071	-0,5446	90,3850	101,0367
4	3240	102,76	40,0	7,2181	9,5071	52,1010	5,2395
5	4360	103,09	35,6	3,0416	7,2181	9,2513	17,4432
6	5499	102,4	29,3	-1,5210	3,0416	2,3134	20,8173
7	6740	101,75	25,2	-3,8779	-1,5210	15,0381	5,5550
8	8555	102,62	25,4	-3,8093	-3,8779	14,5108	0,0047
9	10634	102,43	21,6	-6,0127	-3,8093	36,1526	4,8550
10	13593	101,68	18,8	-5,8341	-6,0127	34,0367	0,0319
11	17290	102,31	19,0	-4,2201	-5,8341	17,8092	2,6050
12	18638	102,37	18,4	-4,0547	-4,2201	16,4406	0,0274
13	20952	101,64	17,7	-2,2141	-4,0547	4,9022	3,3878
14	23369	102,37	17,9	-1,5581	-2,2141	2,4277	0,4303
15	26629	100,5	15,4	0,7603	-1,5581	0,5781	5,3750
16	29792	100,97	15,5	2,1716	0,7603	4,7158	1,9918
17	32495	100,59	16,1	5,0432	2,1716	25,4339	8,2461
18	34030	104,11	19,2	3,9325	5,0432	15,4646	1,2337
Итого	-	-	-	-	-	345,7471	184,6145

Результаты вычислений в МS Eхсel представлены на рисунке 8.

Рисунок 8. Результаты вычислений в МS Eхсel

Предыдущие остатки и остатки в квадрате графически изображены на рисунке 9.

Рисунок 9. Предыдущие остатки

Рисунок 10. Остатки в квадрате

DW= 184,6145/345,7471 = 0,5340.

По таблице распределения Дарбина-Уотсона находим

d1 =1,16 и d2 = 1,39.

Получаем соотношение 1,16<0,5340<4-1.39 (=2.61)

Поскольку d2 < DW < 4- d2, то нет оснований отклонять гипотезу Н 0 об отсутствии автокорреляции в остатках.

Следовательно, уравнение степенной регрессии имеет вид

У= 1496,78+4,33х₁ +0,01 х₂+ е., характеризуется высоким качеством и отсутствием проблем в остатках и может быть использована при предсказании исходных данных.

Для анализа модели на гетероскедастичность по тесту ранговой корреляции Спирмена необходимы следующие данные (таблицы 4-5).

Таблица 4

Расчет для х₁

t	X1	Ранг	et	Ранг	D	D2
1	1051	18	1,9722	14	4	16
2	1523	17	0,5446	18	-1	1
3	2223	16	9,5071	1	15	225
4	3240	15	7,2181	2	13	169
5	4360	14	3,0416	11	3	9
6	5499	13	1,5210	16	-3	9
7	6740	12	3,8779	9	3	9
8	8555	11	3,8093	10	1	1
9	10634	10	6,0127	3	7	49
10	13593	9	5,8341	4	5	25
11	17290	8	4,2201	6	2	4
12	18638	7	4,0547	7	0	0
13	20952	6	2,2141	12	-6	36
14	23369	5	1,5581	15	-10	100
15	26629	4	0,7603	17	-13	169
16	29792	3	2,1716	13	-10	100
17	32495	2	5,0432	5	-3	9
18	34030	1	3,9325	8	-7	49
Итого						980

На основе этих данных вычислен коэффициент ранговой корреляции:

Тестовая статистика составляет

Коэффициент ранговой корреляции меньше, чем /t_кр/, и следовательно, нулевая гипотеза об отсутствии гетероскедастичности не отклоняется.

Таблица 4

Расчет для х₂

t	X2	Ранг	et	Ранг	D	D2
1	101,51	1	1,9722	15	-14	196
2	108,38	2	0,5446	1	1	1
3	102,33	3	9,5071	10	-7	49
4	102,76	4	7,2181	4	0	0
5	103,09	5	3,0416	3	2	4
6	102,4	6	1,5210	7	-1	1
7	101,75	7	3,8779	12	-5	25
8	102,62	8	3,8093	5	3	9
9	102,43	9	6,0127	6	3	9
10	101,68	10	5,8341	13	-3	9
11	102,31	11	4,2201	11	0	0
12	102,37	12	4,0547	8	4	16
13	101,64	13	2,2141	14	-1	1
14	102,37	14	1,5581	8	6	36
15	100,5	15	0,7603	18	-3	9
16	100,97	16	2,1716	16	0	0
17	100,59	18	5,0432	17	1	1
18	104,11	17	3,9325	2	15	225
Итого						591

На основе этих данных вычислен коэффициент ранговой корреляции:

Тестовая статистика составляет

Коэффициент ранговой корреляции меньше, чем /t_кр/, и следовательно, нулевая гипотеза об отсутствии гетероскедастичности не отклоняется.

2. Дополнительное исcледование предполагает прогнозирование исходных данных.

Рекомендуется проводить ретроспективный прогноз, для прогнозирования берется последняя 1/3 наблюдений.

Точечный прогноз.

На данном этапе прогнозируются значения Yэмп. по модели. Так как проводится ретроспективный прогноз, фактические значения факторных переменных и предсказанные по ним значения зависимой переменной (последняя 1/3) будут считаться прогнозными.

С помощью инструмента Microsoft Excel «График» строится график фактических и предсказанных значений зависимой переменной по наблюдениям, делается вывод о близости фактических значений к предсказанным значениям в прогнозном периоде.

Рисунок 11. Данные точечного прогноза

Таблица 5

Прогнозные значения факторных переменных

№ П/П	Х1	Х2	У
1	1051	101,51	34,3
2	1523	108,38	41,6
3	2223	102,33	42,3
4	3240	102,76	40,0
5	4360	103,09	35,6
6	5499	102,4	29,3
7	6740	101,75	25,2
8	8555	102,62	25,4
9	10634	102,43	21,6
10	13593	101,68	18,8
11	17290	102,31	19,0
12	18638	102,37	18,4
13	20952	101,64	17,7
14	23369	102,37	17,9
15	26629	100,5	15,4
16	29792	100,97	15,5
17	32495	100,59	16,1
18	34030	104,11	19,2
19	34173	101,33	13,60
20	36794	101,04	12,63
21	39410	101,31	11,95
22	42007	101,21	11,45

Далее для сравнения добавляются фактические значения.

Таблица 6

Анализ прогнозных и фактических значений

№ П/П	Х1	Х2	У прогн	У
1	1051	101,51	32,3	34,3
2	1523	108,38	42,1	41,6
3	2223	102,33	32,8	42,3
4	3240	102,76	32,8	40,0
5	4360	103,09	32,6	35,6
6	5499	102,4	30,8	29,3
7	6740	101,75	29,1	25,2
8	8555	102,62	29,2	25,4
9	10634	102,43	27,6	21,6
10	13593	101,68	24,6	18,8
11	17290	102,31	23,2	19,0
12	18638	102,37	22,5	18,4
13	20952	101,64	19,9	17,7
14	23369	102,37	19,5	17,9
15	26629	100,5	14,6	15,4
16	29792	100,97	13,3	15,5
17	32495	100,59	11,1	16,1
18	34030	104,11	15,3	19,2
19	34173	101,33	11,15	13,60
20	36794	101,04	9,09	12,63
21	39410	101,31	7,84	11,95
22	42007	101,21	6,04	11,45

Рисунок 12. Фактические и прогнозные данные

Согласно рисунку 12, прогноз сохраняет возрастающую тенденцию, а также все прогнозные значения близки к фактическим.

Стандартные ошибки для интервального прогноза определяются с помощью фиктивных переменных Салкевера, причем количество фиктивных переменных равно количеству прогнозных периодов ( ), где p – количество прогнозных периодов, =1, при условии, что данная переменная отвечает за первый прогнозный шаг, в противном случае, она равна нулю.

Таблица 7

Стандартные ошибки для интервального прогноза определяются с помощью фиктивных переменных Салкевера

№ П/П	Х1	Х2	D1	D2	D3	D4	У
1	1051	101,51	0	0	0	0	34,3
2	1523	108,38	0	0	0	0	41,6
3	2223	102,33	0	0	0	0	42,3
4	3240	102,76	0	0	0	0	40,0
5	4360	103,09	0	0	0	0	35,6
6	5499	102,4	0	0	0	0	29,3
7	6740	101,75	0	0	0	0	25,2
8	8555	102,62	0	0	0	0	25,4
9	10634	102,43	0	0	0	0	21,6
10	13593	101,68	0	0	0	0	18,8
11	17290	102,31	0	0	0	0	19,0
12	18638	102,37	0	0	0	0	18,4
13	20952	101,64	0	0	0	0	17,7
14	23369	102,37	0	0	0	0	17,9
15	26629	100,5	0	0	0	0	15,4
16	29792	100,97	0	0	0	0	15,5
17	32495	100,59	0	0	0	0	16,1
18	34030	104,11	0	0	0	0	19,2
19	34173	101,33	1	0	0	0	13,60
20	36794	101,04	0	1	0	0	12,63
21	39410	101,31	0	0	1	0	11,95
22	42007	101,21	0	0	0	1	11,45

Результат регрессии

Рисунок 13 Результат регрессии

Тогда стандартная ошибка коэффициента при фиктивной переменной равна стандартной ошибке предсказания (S_i):

Для периода 19 – 5,33

для периода 20 – 5,44

для периода 21 – 5,57

для периода 22 – 5,70

Полученные стандартные ошибки коэффициентов при фиктивных переменных Салкевера равны стандартным ошибкам прогноза (Sпрj). Границы интервального прогноза рассчитываются по следующим формулам:

Ymin_n+j = Yэмп._n+j-Sпр_j*tкр,

Ymax_n+j = Yэмп._n+j+Sпр_j*tкр,

где tкр. - критическая точка распределения Стьюдента, определяемая по формуле СТЬЮДРАСПОБР(0,05;n-m-1), Yэмп._n+j – предсказанные значения в j прогнозном периоде

t крит=2,262

Таблица 8

Стандартные ошибки

№ П/П	У прогн	Уэмп	Sпрогн	У min	Уmax
1	32,3	34,3
2	42,1	41,6
3	32,8	42,3
4	32,8	40,0
5	32,6	35,6
6	30,8	29,3
7	29,1	25,2
8	29,2	25,4
9	27,6	21,6
10	24,6	18,8
11	23,2	19,0
12	22,5	18,4
13	19,9	17,7
14	19,5	17,9
15	14,6	15,4
16	13,3	15,5
17	11,1	16,1
18	15,3	19,2
19	11,15	13,60	5,33	5,82	16,48
20	9,09	12,63	5,44	3,65	14,53
21	7,84	11,95	5,57	2,27	13,41
22	6,04	11,45	5,70	0,34	11,74

Далее с помощью инструмента Microsoft Excel «График» строится график по фактическим и предсказанным значениям результативной переменной, верхним и нижним границам прогноза по наблюдениям (рис.12).

Рисунок 14. Границы прогноза

Согласно графику, прогнозные значения вписываются в границы интервального прогноза, что говорит о хорошем качестве прогноза.

Для оценки точности и надежности прогноза рассчитываются следующие показатели:

Абсолютная ошибка прогноза (Δ*абс) определяется как разность между эмпирическими и прогнозными значениями признака и вычисляется по формуле:

,

где: - прогнозное значение зависимой переменной,

у_t - фактическое значение зависимой переменной.

Таблица 9

Расчет абсолютной ошибки прогноза

№ П/П	У прогн	Уэмп	
1	32,3	34,3	2
2	42,1	41,6	-0,5
3	32,8	42,3	9,5
4	32,8	40,0	7,2
5	32,6	35,6	3
6	30,8	29,3	-1,5
7	29,1	25,2	-3,9
8	29,2	25,4	-3,8
9	27,6	21,6	-6
10	24,6	18,8	-5,8
11	23,2	19,0	-4,2
12	22,5	18,4	-4,1
13	19,9	17,7	-2,2
14	19,5	17,9	-1,6
15	14,6	15,4	0,8
16	13,3	15,5	2,2
17	11,1	16,1	5
18	15,3	19,2	3,9
Итого			0

Относительная ошибка прогноза (d*_отн) может быть определена как отношение абсолютной ошибки прогноза (Δ*):

а) к фактическому значению зависимой переменной (у_t):

.

б) к прогнозному значению зависимой переменной ( :

.

Таблица 10

Относительная ошибка прогноза

№ П/П	У прогн	Уэмп	У2	{}	{}2
1	32,3	34,3	1176,49	2	4	0,1166
2	42,1	41,6	1730,56	0,5	0,25	0,0060
3	32,8	42,3	1789,29	9,5	90,25	2,1336
4	32,8	40,0	1600	7,2	51,84	1,2960
5	32,6	35,6	1267,36	3	9	0,2528
6	30,8	29,3	858,49	1,5	2,25	0,0768
7	29,1	25,2	635,04	3,9	15,21	0,6036
8	29,2	25,4	645,16	3,8	14,44	0,5685
9	27,6	21,6	466,56	6	36	1,6667
10	24,6	18,8	353,44	5,8	33,64	1,7894
11	23,2	19,0	361	4,2	17,64	0,9284
12	22,5	18,4	338,56	4,1	16,81	0,9136
13	19,9	17,7	313,29	2,2	4,84	0,2734
14	19,5	17,9	320,41	1,6	2,56	0,1430
15	14,6	15,4	237,16	0,8	0,64	0,0416
16	13,3	15,5	240,25	2,2	4,84	0,3123
17	11,1	16,1	259,21	5	25	1,5528
18	15,3	19,2	368,64	3,9	15,21	0,7922
Итого	-	-	12960,91	67,2	344,42	13,4672

Средняя абсолютная ошибка прогноза ( ), которая определяется как средняя арифметическая простая из абсолютных ошибок прогноза по формуле вида:

,

где: n – объем выборки.

Средняя квадратическая ошибка прогноза, определяемая по формуле:

,

(в знаменателе (n-m-1), m- число параметров модели). Средняя квадратическая ошибка показывает величину возможного отклонения полученной в результате выборки средней арифметической от такой же средней по всей совокупности.

=26,83

Средняя ошибка аппроксимации рассчитывается по формуле:

.

Данный показатель является относительным показателем точности прогноза и не отражает размерность изучаемых признаков, выражается в процентах и на практике используется для сравнения точности прогнозов полученных как по различным моделям, так и по различным объектам. Интерпретация оценки точности: < 10% - высокая; 10% - 20% - хорошая; 20% - 50% - удовлетворительная; > 50% - не удовлетворительная.

Модель обладает достаточно высокой точности, так как интерпретация оценки точности: < 10% .

Коэффициент несоответствия рассчитывается по формуле:

.

Интерпретация: КН₁=0 при полном совпадении фактических и прогнозных значений; прогноз положительный

.

Таким образом, методика успешно апробирована, может быть рекомендована для подобных исследований.