§7. Фізичний зміст визначеного інтеграла.

За допомогою інтеграла розв`язують одну з основних задач кінематики: за відомою швидкістю знайти закон руху. Для однозначності розв`язку необхідно задати ще додаткову умову: координату тіла в деякий момент часу.

Визначний інтеграл є переміщенням за проміжок часу матеріальної точки, яка рухається прямолінійно зі швидкістю .

Якщо на , тобто точка рухається у напрямі осі, то її переміщення збігається із шляхом, пройденим за цей проміжок часу. У даному випадку визначений інтеграл може бути трактованим як шлях, пройдений точкою за проміжок часу , тобто

.

Задача 1. (робота змінної сили). Матеріальна точка рухається вздовж осі Ох під дією сили, проекція якої на цю вісь є неперервною функцією координати . Знайти роботу цієї сили з переміщення точки з положення х=а в положення х=b.

Якщо матеріальна точка рухається вздовж осі під дією сталої сили, проекція якої на цю вісь дорівнює , то роботу по переміщенню точки з положення в положення можна знайти за допомогою формули . Якщо ж рух проходить під дією змінної сили, то для розв`язування поставленої задачі застосовують інтегральні методи.

Розіб`ємо відрізок точками на n рівних відрізків завдовжки . На кожному з цих відрізків , , сила змінюється мало. Тому наближено її можна вважати сталою, що дорівнює, наприклад, , тоді робота,яку виконує сила на відрізку , приблизно дорівнює , а робота сили на всьому відрізку виражається за допомогою формули . Перейшовши в останній рівності до границі при , дістанемо .

Приклади:

Задача 1.

Для кращого обслуговування заїзду гонок серії „Формула-1” майстри визначили найкращий закон зміни швидкості руху автомобіля прямою трасою: v(t) = 2·(t+2)^5/2. Який шлях проїде пілот цієї гонки за 7 с від початку руху? Який шлях він проїде за сьому секунду?

Розв’язання:

= ≈1250 (м)

= = ≈ 422 (м)

Відповідь 1250 м; 422 м.

Задача 2. Швидкість руху точки м/с. Знайти шлях,пройдений точкою від початку руху до її зупинки.

Розв’язання:

Швидкість руху точки дорівнює нулю в момент початку і в момент зупинки. Визначимо, в який момент точка зупиниться, для цього розв’яжемо рівняння , звідки . Тепер за формулою знаходимо м.

Задача 3. Два тіла почали рухатися одночасно з однієї точки в одному напрямі по прямій. Перше тіло рухається з швидкістю м/с, друге – з швидкістю м/с . На якій відстані одне від одного вони будуть через 5с?

Розв’язання:

Очевидно, що шукана величина є відстаней,пройдених першим і другим тілом за 5с: м, м, м.

Задача 4. Два тіла рухаються по прямій з однієї і тієї ж точки. Перше тіло рухається з швидкістю м/с , друге – з швидкістю м/с. В який момент і на якій відстані від початкової точки вони зустрінуться?

Розв’язання:

Згідно з умовою, тіла почали рухатися з однієї і тієї ж точки, тому відстані, пройдені ними до зустрічі, рівні. Знайдемо закони руху кожного з тіл: ; . Сталі інтегрування при початкових умовах дорівнюють нулю. Ці тіла зустрінуться при умові , звідки , або Розв’яжемо це рівняння: , тобто . Отже, ці тіла зустрінуться в момент . Підставивши значення у рівність, яка визначає закон руху будь-якого з тіл (наприклад, першого), знайдемо відстань, пройдену кожним тілом до зустрічі: м

Задача 5. Тіло кинуто з поверхні землі вертикально вгору з швидкістю м/с. Знайти найбільшу висоту підйому тіла.

Розв’язання:

Тіло досягне найбільшої висоти в такий момент часу t, коли , тобто . За формулою знаходимо м.

Задача 6. Стиск х гвинтової пружини пропорційний прикладеній силі F. Обчислити роботу сили А при стисканні пружине на 0,04м, якщо для стискання її на 0,01м потрібна сила 10Н.

Розв’язання: Оскільки х=0,01м при F=10H, то, підставляючи ці значення в рівність , дістанемо м. Підставивши тепер у цю ж рівність значення k, знаходимо , тобто . Шукану роботу знайдемо за формулою , припустивши, що , : Дж

Задача 7. Пружина в спокійному стані має довжину 0,2м. Сила в 50Н розтягує пружину на 0,01м. Яку роботу треба виконати, щоб розтягти її від 0,22м до 0,32м?

Розв’язання:Використавши рівність , маємо . Знайдемо межі інтегрування: a=0,22-0,2=0,02(м), b=0,32-0,2=0,12(м). Тепер за формулою дістанемо Дж.

Задача 8. Для стискання пружини на 0,05м виконують роботу в 25Дж. Яку роботу треба виконати, щоб стиснути пружину на 0,1м?

Розв’язання: Знаючи величину стискання пружини (0,05м) і виконану при цьому роботу (25Дж), скористаємось формулою : , звідки (Н/м). Тепер за цією ж формулою знаходимо (Дж).

Задача 9. Щоб розтягти пружину на 0,04м, треба виконати роботу в 20 Дж. На яку довжину можна розтягти пружину, виконавши роботу в 80 Дж?

Розв’язання: Оскільки відомо величину розтягу пружини і виконану при цьому роботу, то, використавши формулу , маємо (Н/м). Нехай - величина розтягу пружини, яка відповідає виконаній при цьому роботі в 80 Дж. Тоді , звідки ; (м)

Вправи для самостійного виконання:

1.Швидкість руху точки м/с. Знайдіть шлях, пройдений точкою за 5с від початку руху.

2. Швидкість руху точки м/с. Знайдіть шлях, пройдений точкою від початку руху до її зупинки.

3. Два тіла почали рухатися з однієї точки в одному напрямі по прямій. Перше тіло рухається з швидкістю м/с, друге – з швидкістю м/с. На якій відстані одне від одного вони будуть через 10с?

4. Пружина розтягується на 0,02м під дією сили 60Н. яку роботу виконує ця сила, розтягуючи пружину на 0,12м?

5. Пружина в спокійному стані має довжину 0,1м. сила в 20Н розтягує її на 0,01м. яку роботу треба виконати, щоб розтягти її від 0,12м до 0.14м?

6. Для стискання пружини на 0,05м виконують роботу в 30Дж. Яку роботу треба виконати, щоб стиснути пружину на 0,08м?

Відповідь:1)270м; 2)6м; 3)900м; 4)21,6Дж; 5)1,2Дж 6)76,8Дж