§2. Техніка обчислювання границь

Для неперервної в точці функції , наближеній рівності можна забезпечити довільну наперед задану точність, якщо значення аргументу взяти достатньо близьким до .

Розривні функції не мають такої властивості. Однак між ними зустрічаються функції, поведінка яких в околі точки розриву лише неістотно відрізняється від поведінки неперервних функцій. Розглянемо, наприклад, функцію з точкою розриву х=0. зазначимо, що при , тобто всюди, крім точки х=0, збігається з функцією . Оскільки остання функція неперервна в точці х=0, то наближеній рівності можна забезпечити довільну наперед задану точність, якщо х брати із досить малого околу точки х=0. таким чином, при у цьому околу з тією самою точністю виконується наближена рівність ( Вимога - істотна, оскільки при х=0 функція не визначена.)

Аналогічно поводиться в околі точки х=1 функція .

Отже, кожна із розглянутих функцій в околі своєї точки розриву має таку властивість: існує число А таке, що наближеній рівності можна забезпечити довільну наперед задану точність, якщо значення аргументу х брати відмінним від із достатньо малого околу цієї точки. У подібних випадках кажуть, що функція має границю в точці , що дорівнює А, і символічно записують .

Таким чином, .

Порівнюючи поняття границі і неперервності функції, неважко помітити, що вимога неперервності функції в точці рівнозначна умові яку, звичайно, приймають за визначення неперервності функції в точці .

Функції, що мають границю в точці, мають і деякі властивості неперервних в точці функцій. А саме: якщо існують границі функцій , в точці , то існують границі їх суми, добутку і частки в цій точці, причому:

1) ;

2) ;

3) ;

4) , якщо

Ці властивості, а також , де С – довільна стала, звичайно,для обчислення границь.

Приклад.

1) . Оскільки функція неперервна в точці х=1, то .

2) . Оскільки функція неперервна в точці х=2, то .

3) . Функція розривна в точці х=-2, оскільки знаменник дробу перетворюється в нуль при даному значенні х. Однак при , тобто функція всюди, крім точки х=-2, збігається з функцією . Функція неперервна в точці х=-2, тому . Таким чином, і функція має границю при х, що прямує до -2, яка дорівнює -3.

Стисло наведені вище міркування записують так: .

4) .

При обчисленні границі виникла невизначеність виду . Щоб її розкрити, розкладемо чисельник і знаменник дробу в добуток лінійних співмножників, знаходячи корені квадратних тричленів і, скориставшись відомою формулою , а потім скоротимо спільні множники:

.

Аналогічно обчислюються границі, що містять найпростіші ірраціональні вирази, і які також приводять до невизначеностей типу . При цьому на попередньому етапі треба позбутися ірраціональності в ірраціональному виразі, який має нульове граничне значення, помножаючи і чисельник і знаменник дробу на так званий спряжений ірраціональний вираз та використовуючи формули скороченого множення:

і .

Приклад.

Функція називається нескінченно великою при , якщо для будь-якого М>0 знайдеться такий окіл цієї точки, що для всіх значень х із цього околу виконується нерівність: . Означення означає, що модуль функції стає більше будь-якого наперед заданого числа, тобто необмежено зростає, коли . Отже, в силу означення границі нескінченно велика при функція не має границі в цій точці. При цьому пишуть або .

Функція називається нескінченно малою у точці х=а, якщо . Означення означає, що модуль функції стає менше будь-якого наперед заданого числа, коли .

Теорема. Про зв`язок між нескінченно великими і нескінченно малими.

Якщо - нескінченно мала при , то обернена до неї величина нескінченно велика при ;

якщо - нескінченно велика при , то величина, обернена до неї, - нескінченно мала при .

Приклад. а) ;

б) ;

в) - невизначеність типу . Для обчислення границі винесемо множник (старший степінь) за дужки. З огляду на те, що , коли , значимо ;

г)аналогічно, .

Важливий приклад еквівалентних нескінченно малих дає нам так звана перша визначна границя: .

Таким чином, ~x, коли x→0. виходячи з цього можна також показати, що sinx~tgx~arcsinx~arctgx~x, (x→0)

Приклад: а) |tg5x²~5x², sin2x~2x, x→0|= .

б)

Друга визначна границя , де е – постійна введена Л. Ейлером (ірраціональне число. Що записується у виді нескінченного неперіодичного десяткового дробу), Так називають границю (невизначеність типу )

Друга визначна границя може бути записана і в таких формах:

.

Приклад.

Завдання для самостійної роботи

Обчислити границю:

1. 6.

Відповідь: Відповідь:

2. 7.

Відповідь: Відповідь: 0

3. 8.

Відповідь:3 Відповідь:

4. 9.

Відповідь: 0,1 Відповідь:

5. 10.

Відповідь:-1,5 Відповідь: