МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД«АРТЕМІВСЬКИЙ КОЛЕДЖ ТРАНСПОРТНОЇ ІНФРАСТРУКТУРИ»
МЕТОДИЧНИЙ ПОСІБНИК
для самостійного вивчення окремих тем
дисципліни «Основи вищої математики»
Укладачі: спеціаліст вищої категорії, викладач методист Іщенко Г.В., спеціаліст вищої категорії Нальотова С.В.
2013 |
|
Зміст
Вступ……………………………………………………………………………..4
Частина перша
Розділ І Основи математичного аналізу
Тема 1. Вступ. Функції, їх властивості і графіки:
§1. Найпростіші перетворення графіків функцій …………………………….8
Тема ІІ. Границя функції. Похідна, її застосування
§2. Техніка обчислювання границь …………………………………………...16
§3. Похідна функції та її застосування ……………………………………….21
§4. Розв’язання нескладних прикладних задач на знаходження найбільших і найменших значень реальних величин ……………………………………….32
Тема ІІІ. Інтеграл і його застосування
§5. Методи обчислення інтегралів ……………………………………………36
§6. Геометричний зміст визначеного інтеграла ……………………………..42
§7. Фізичний зміст визначеного інтеграла …………………………………...47
§8. Застосування інтегрального числення для розв’язку задач, пов’язаних з обчисленням кількості електрики за силою струму та сили тиску рідини ...52
Тема ІV. Комплексні числа
§9. Перехід від однієї форми комплексного числа до інших ………………..55
§10. Розв’язання прикладних задач на додавання гармонійних коливань з однаковою частотою …………………………………………………………...60
Частина друга
Розділ І Основи математичного аналізу
Тема V. Диференціальні рівняння
§11. Розв’язання диференціальних рівнянь з відокремлюваними змінними, розв’язання неповних диференціальних рівнянь …………………………….65
§12. Розв’язання диференціальних рівнянь різних типів ……………………70
Тема VI. Ряди
§13. Розв’язання вправ на дослідження рядів на збіжність………………….77
§14. Розкладання функцій в ряди Тейлора-Маклорена……………………... 82
§15. Розкладання функцій, які часто зустрічаються в спец предметах, в ряди Фур’є…………………………………………………………………………….83
Розділ ІІ Основи аналітичної геометрії та лінійної алгебри
Тема І. Елементи аналітичної геометрії на площині
§16. Вектори і їх застосування. Прямокутні координати і їх застосування. Поділ відрізка в заданому співвідношенні. ………………….………………90
§17. Полярна система координат ……………………………………………..95
§18. Рівняння прямих. Відстань від точки до прямої ……………………….97
§19. Розв’язання задач на криві другого порядку ………………………….104
Тема ІІ Елементи лінійної алгебри
§20. Розв’язання систем лінійних рівнянь за методом Гаусса, по правилу Крамера, методом оберненої матриці ………………………………………108
Перелік літератури……………………………………………………………115
«Завдання полягає не в тому,
щоб навчати математиці, а в тому,
щоб за посередництвом математики
дисциплінувати розум.»
В. Шредер
Вступ
Математика – це могутній засіб забезпечення точності пізнання. Мабуть, саме тому видатний німецький філософ Еммануїл Кант вважав, що наука тим більше заслуговує назви науки, чим більше в ній математики.
Природно, що процес математизації не однаковою мірою торкається різних наук. Гуманітарні науки тривалий час були ізольовані від математики, якщо не враховувати застосування статистичних методів у дослідженні окремих соціальних процесів, зокрема проблем демографії, а також проблем структурної лінгвістики, де застосування математики дало позитивні результати. У наш час наукове управління економічними процесами може бути здійснено на основі застосування точних математичних методів у всіх сферах господарювання – від прогнозування розміщення корисних копалин до вивчення попиту на товари широкого вжитку і побутові послуги, від вивчення потреби в робочій силі до планування транспортних артерій тощо. Ось чому сьогодні математика як навчальна дисципліна посідає чільне місце в навчальних планах практично всіх спеціальностей вищих навчальних закладів.
Ці особливі методичні вказівки містять не тільки теоретичні відомості з усіх традиційних розділів вищої математики, рекомендованих типовою навчальною програмою Міністерства освіти і науки України для залізничних спеціальностей, а й методичні рекомендації та розв`язки багатьох типових задач, а також задачі для самостійного розв`язку. В посібнику викладені необхідні основи математичного апарату і приклади його використання: елементи лінійної алгебри, аналітична геометрія, математичний аналіз функцій однієї змінної, теорія диференціальних рівнянь, числових і степеневих рядів. Такий об`єм математичних знань і навичок актуальний для студентів різних спеціальностей. Велика кількість типових розв`язаних задач в кожному розділі дає можливість краще засвоїти теоретичний матеріал. Сучасна математика інтенсивно проникає у всі сфери діяльності людини, об`єктивно відображаючи універсальні закони оточуючого світу. Сьогодні інтелектуал, прагнучи мати доступ до світової науки, зробити особистий внесок в її розвиток, вдосконалити своє логічне і абстрактне мислення, творчо і розумно користуватись комп`ютерною технікою, навіть тоді, коли йдеться про пошук у галузі гуманітарних наук, повинен знати математичні дисципліни, володіти математичною культурою. Інколи математична культура ближча до науки, інколи до мистецтва; вона може бути і дотичною до них.
Математика – одна з найдревніших наук і розвивалася в атмосфері впливу геніїв світової науки: Декарта, Паскаля, Ферма, Гюйгенса, Ньютона, Лейбніца, Ейлера, Лагранжа, Лобачевского, Чебишева, Колмогорова та інших. Їх математичний доробок накреслив неписаний план для роботи кількох наступних поколінь математиків. Імена українських вчених займають гідне місце в історії розвитку математики: М.В.Остроградський(1801-1861), В.Й.Левицький(1872-1956), М.П.Кравчук(1892-1942), М.М.Боголюбов(1909-1992). В.М.Глушков(1923-1982) та інші. Кожний з них був яскравою зіркою на небосхилі математичної науки. Багато праць українських вчених математиків стосувалися прикладних проблем, розв`язуванню конкретних задач фізики, механіки, економіки.
Вивчення математичних дисциплін і їх застосування дозволить майбутньому фахівцеві не тільки одержати необхідні базові навички, але й творчо переосмисливши їх, сформувати своє бачення професійної діяльності.
Математика у свідомості студентів та й самих викладачів повинна бути не просто стрункою системою знань, що відірвана від життєвих завдань суспільства, а й повноправним методом дослідження, нерозривно зв`язаним із проблемами управління технічними процесами, проблемами найефективнішого використання природних та економічних ресурсів, могутньою зброєю пізнання навколишнього світу.
В Україні на вагу золота повинні цінуватися ті спеціалісти, які досконало оволоділи елементами прикладної математики і не є вузькими ремісниками, а творцями у своїй справі. Такому спеціалістові, поряд з математикою, потрібні й глибокі знання предметної галузі.
Посібник відповідає програмі з вищої математики для залізничних спеціальностей вищих навчальних закладів І та ІІ рівнів акредитації. Мета його – забезпечити ґрунтовне засвоєння теоретичного курсу з вищої математики, сприяти формуванню навичок у застосуванні методів вищої математики з підсиленням її прикладної спрямованості, допомогти студентам при самостійному розв’язанні задач. Відомо, що новий навчальний матеріал засвоюється студентами значно легше, якщо він супроводжується достатньо великою кількістю прикладів, які його ілюструють. А тому в даному посібнику зроблено спробу поєднати теоретичний матеріал з методичними рекомендаціями та розв’язками багатьох типових задач, включаючи задачі для самостійного розв’язку та відповіді до них. Отже, його можна використовувати і як збірник задач.
Посібник складається з двох частин. У першій частині розглядаються такі розділи вищої математики: основи математичного аналізу, в якій увійшли теми: функції, їх властивості і графіки, комплексні числа, границя функції, похідна та її застосування, інтеграл і його застосування; у другій частині – з першого розділу увійшли теми: диференціальні рівняння, ряди та розділ другий: основи аналітичної геометрії та лінійної алгебри з темами: елементи аналітичної геометрії на площині, елементи лінійної алгебри.
При розкритті основних понять перевага надається класичному підходу: наприклад, поняття неперервності функції розглядається після поняття границі і т. ін. Скрізь, де це можливо, дається геометричний і фізичний зміст математичних понять (наприклад, похідної, інтегралу та ін..), розглядаються найпростіші застосування вищої математики в спец предметах. Такі застосування розраховані на рівень підготовки студентів другого курсу і майже не потребують додаткової інформації.
ЧАСТИНА ПЕРША
Розділ І . Основи математичного аналізу
Тема І. Вступ. Функції їх властивості і графіки.
§1. Найпростіші перетворення графіків функцій
Нагадаємо відоме зі шкільного курсу поняття функціональної залежності.
Залежність між змінними величинами х і у називається функціональною (або функцією), якщо кожному допустимому значенню х відповідає деяке значення у.
Змінну х називають змінною, або аргументом, змінну у – залежною змінною. Всі значення, яких набуває незалежна змінна х, утворюють область визначення функції.
Число у, яке відповідає аргументу х, називається значенням функції в точці х. Усі значення, яких набуває функція, утворюють множину значень функції.
Для
позначення функціональної залежності
часто використовують символ 
.
Замість букви f можна використовувати
будь-яку іншу ( наприклад: G,
g,
F,
h,
H
і т.д.).
Функціональними
залежностями, наприклад, є: залежності
тиску газу від його об`єму, напруги від
сили струму, довжини стержня від його
температури, довжини коло від його
градуса і т.п. .Однак слід пам`ятати, що
не кожна залежність буде функцією. Так,
залежність між змінними х
та у,
що задана рівнянням 
, не є функціональною, оскільки довільному
значенню х
з інтервалу(-1; 1) відповідають два значення
у:
;
.
Термін «функція» вперше з`явився у ХVІІ ст. у працях німецького математика і філософа Г.В. Лейбніца. У формуванні сучасного розуміння функціональної залежності брало участь багато виданих математиків, зокрема, російський математик М.І. Лобачевский.
Задати
функцію – це значить сформулювати
правило, за допомогою якого для кожного
допустимого значення аргументу х
можна знайти відповідне йому значення
у.
Існують різні способи завдання функції.
Частіше усього функцію задають аналітично,
тобто за допомогою однієї або декількох
формул. Наприклад, 
.
Множина тих чисел х,
для яких права частина такої рівності
може бути обчислена, називається
природною
областю
визначення функції.
Якщо множина D
не вказана спеціально, то припускається,
що функція задана в природній області
визначення.
У фізиці та техніці залежності між змінними часто фіксуються на шкалах вимірювальних приладів. У таких випадках функцію задають у вигляді таблиці. Так, наведені нижче дані дістали під час спостереження за коливаннями тіла, підвішеного до пружини:
Маса тіла,г |
50 |
100 |
150 |
200 |
250 |
300 |
Період коливань,с |
0,72 |
0,85 |
0,96 |
1,06 |
1,16 |
1,23 |
Маємо табличне завдання залежності періоду коливань від маси. Крок таблиці дорівнює 50.
Дуже поширений графічний спосіб завдання функції.
Графік
функції
- це множина точок координатної площини
з координатами 
,
де х – довільне число з області визначення
функції. Нагадаємо
тепер деякі відомі зі шкільного курсу
та першого курсу технікуму функції та
їхні графіки.
Лінійна функція – це функція, що має вигляд
,
де k, b – деякі сталі. Графіком цієї
функції є пряма. Число k, яке дорівнює
тангенсу кута нахилу прямої до додатного
напряму осі х,
називається кутовим
коефіцієнтом.
у
у у
у=b b І k>0 у=кх
х х х
ІІ k<0 у=-кх
Якщо к=0, то маємо сталу функцію у=b, якщо b=0, то маємо пряму пропорційність у=кх.
2.
Обернена
пропорційність
– це функція 
,
де к – деяка відмінна від нуля стала.
Її графіком є гіпербола, розміщена в І
і ІІІ координатних кутах при k>0 і в ІІ
та ІV координатних кутах при k<0.
у у 
х
х
3.
Квадратична
функція
– це функція 
,
де 
-
деякі сталі. Її графіком є парабола з
вершиною в точці 
і
з гілками, направленими вгору при 
>0
і
вниз при
<0
4.
Показникова
функція
– це функція
5.
Логарифмічна
функція
– це функція 
у a>1
a<1 у а>1
0 1 х
1 a<1
0 х
6.
Тригонометричні
функції
– це функції 
7.
Обернені
тригонометричні функції
– це функції 
Властивості цих функцій відомі раніше.
Окрім області визначення та області значення до основних властивостей функції відносяться такі, як
Парні і непарні функції.
Функція
називається парною, якщо 
,
тобто при заміні х на (-х) функція не
змінюється.
Функція
називається непарною, якщо 
,
тобто при заміні х на (-х) функція лише
змінює свій знак на протилежний.
Графіки парних функцій симетричні відносно осі ординат, а непарних функцій – симетричні відносно початку координат.
Наприклад,
- парна тому, що 
,
а графік є симетричним відносно осі Оу.
Функція
є непарною тому, що 
,
а її графік є симетричним відносно
початку координат.
Спадаючі та зростаючі функції.
Функція
називається зростаючою на проміжку
,
якщо для будь-яких 
має
місце нерівність 
.
Функція
називається спадаючою, якщо при
виконується умова 
.
Зростаючі і спадаючі функції називаються монотонними.
Періодичність функції.
Функція
називається періодичною. Якщо існує
таке постійне число Т, що виконується
рівність 
для будь-якого х.
Приклад 1.
Знайти
область визначення функцій: 1) 
;
2)
;
3)
.
Розв’язання.
1)
Відповідь:
2)
Нулі
функції: 
,
+ - +
-3
х
Відповідь:
3)
Відповідь:
Приклад 2. Дослідити на парність (непарність) функцію:
1)
;
2) 
;
3) 
.
Розв’язання.
1)
-
функція непарна.
2)
-
функція не є парною,не є непарною.
3)
,
тобто функція непарна.
Приклад 3. Які функції є монотонними?
1)
;
2) 
.
Розв’язання.
1)
функція зростає.
2)
функція спадає.
В багатьох випадках графіки досліджуваних функцій вдається побудувати за допомогою геометричних перетворень графіків уже відомих функцій. До геометричних перетворень графіка відноситься його перенесення вздовж осей координат, а також стискання і розтягування до осей.
Нехай
графік функції
відомий.
Розглянемо деякі найпростіші перетворення
цієї функції і з`ясуємо, як буде змінюватися
при цьому графік.
І.
Графік функції 
одержується
з графіка функції
паралельним переносом уздовж осі Ох на
одиниць
( праворуч на 
одиниць, якщо
<0,
і ліворуч
на
одиниць, якщо
>0)
ІІ.
Графік функції 
одержується
з графіка функції
паралельним переносом уздовж осі Оу на
b одиниць ( вгору на 
одиниць, якщо b>0, і вниз на
одиниць, якщо b<0).
у 
у 
+3
3
0 х
-3
-6 0 6 х
-3
ІІІ.
Графік функції 
(k>0)
одержується з графіка функції 
стиском
графіка уздовж осі Ох у k разів (якщо
k>1, то стиску у k разів треба розуміти
як у 
разів, якщо 0<k<1, то розтягнутий).
ІV.
Графік функції 
,
де A>0,
одержується з графіка функції
розтягом графіка уздовж осі Оу у А разів
( якщо А>1, то розтягом у А разів, якщо
0<А<1, то стиском.
V.
Графік функції 
одержується з графіка функції
зображенням симетрії відносно осі Оу.
VІ.
Графік функції 
одержується з графіка функції
зображенням симетрії відносно осі Ох.
VII.
Графік функції 
одержується з графіка функції
зображенням вище осі Ох ( і на самій осі)
– без змін, нижче осі Ох – симетрія
відносно осі Ох.
VIII.
Графік функції 
одержується з графіка функції
зображенням правіше осі Оу (і на самій
осі) – без змін, і ця ж сама частина -
симетрія відносно осі Оу.
IX.
. Графік функції 
одержується з графіка функції
зображенням вище осі Ох ( і на самій осі)
– без змін , і ця ж сама частина - симетрія
відносно осі Ox.
Приклад
1. Побудувати графік функції 
.
Виділивши
повний квадрат, маємо 
.
Таким чином
графік даної функції можна отримати з
параболи
зсувом її вздовж осі Ох на дві одиниці
ліворуч і вздовж осі Оу на три одиниці
вгору. Таким чином, треба послідовно
побудувати графіки таких функції:
1
).
. у
2). 
.
3
).
.
3
-
0
х
-2
Приклад
2.
.
Таким чином, треба послідовно побудувати графіки таких функції:
1).
2).
-
графік одержуємо, стискаючи попередній
графік у два рази уздовж осі Ох до осі
Оу ( частота коливань збільшилася в два
рази, виходить, період зменшився в два
рази) і застосовуючи перетворення
симетрії щодо осі Ох.
3).
-
графік одержуємо із попереднього
паралельним переносом уздовж осі Ох на
праворуч.
4).
-
графік одержуємо з попереднього розтягом
уздовж осі Оу в два рази ( амплітуда
коливань збільшилася в два рази).
5). - паралельний перенос попереднього графіка уздовж осі Оу на 0,8 одиниць униз
у
4)
2) 1)
х
3)
5
Вправи для самостійного виконання:
1.Знайти область визначення функцій:
1)
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5)
;
6) 
;
7) 
.
2. Знайти область значення функцій:
1)
;
2) 
;
3) 
.
3. Встановити парність (непарність) функцій:
1)
;
2) 
;
3) 
.
4.
Чи є монотонними дана функція: 
?
5.Як із графіка функції дістати графік функції:
1)
;
2) 
;
3)
;
4)
;
5) 
;
6) 
?
6.
На скільки одиниць треба зсунути параболу
вздовж осей координат, щоб дістати
параболу 
?
7. Побудуйте графіки функцій:
1)
;
2) 
;
3) 
;
4) 
.
Відповідь:
1.1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5)
;
6) 
7)
Ø.
2.
1) 
;
2) 
;
3) 
.
3. 1) парна; 2) непарна; 3) загального виду.
4. да (зростає).
Тема ІІ. Границя функції. Похідна, її застосування