12. Формулы Крамера

Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

Определение. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается  (дельта).

Определители 

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

ми:

;

.

Формулы Крамера для нахождения неизвестных:

.

Найти значения   и  возможно только при условии, если

.

Этот вывод следует из следующей теоремы.

Линейные уравнения

Определения, понятия, обозначения.

Будем рассматривать системы из p линейных алгебраических уравнений с nнеизвестными переменными (p может быть равно n) вида

 - неизвестные переменные,   - коэффициенты (некоторые действительные или комплексные числа),   - свободные члены (также действительные или комплексные числа).

Такую форму записи СЛАУ называют координатной.

Решением системы линейных алгебраических уравнений называют набор значений неизвестных переменных  , обращающий все уравнения системы в тождества. Матричное уравнение   при данных значениях неизвестных переменных также обращается в тождество  .

Если система уравнений имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной.

Если система уравнений решений не имеет, то она называется несовместной.

Если СЛАУ имеет единственное решение, то ее называют определенной; если решений больше одного, то – неопределенной.

Если свободные члены всех уравнений системы равны нулю  , то система называется однородной, в противном случае – неоднородной.

13.Однородные системы линейных уравнений

Системы линейных уравнений, у которой все свободные члены равны нулю, называются однородными:

Любая однородная система всегда совместна, поскольку всегда обладает нулевым (тривиальным) решением. Возникает вопрос, при каких условиях однородная система будет иметь нетривиальное решение.

Теорема. Однородная система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы меньше числа ее неизвестных.

Следствие. Квадратная однородная система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель основной матрицы системы не равен нулю.

Пример. Определить значения параметра l, при которых система имеет нетривиальные решения, и найти эти решения:

Эта система будет иметь нетривиальное решение тогда, когда определитель основной матрицы равен нулю:

Таким образом, система нетривиальна, когда l=3 или l=2. При l=3 ранг основной матрицы системы равен 1. Тогда оставляя только одно уравнение и полагая, что y=a и z=b, получим x=b–a, т.е.

При l=2 ранг основной матрицы системы равен 2. Тогда, выбирая в качестве базисного минор:

получим упрощенную систему

Отсюда находим, что x=z/4, y=z/2. Полагая z=4a, получим

 à

Множество всех решений однородной системы обладает весьма важным линейнымсвойством: если столбцы X₁ и X₂ – решения однородной системы AX=0, то всякая их линейная комбинация aX₁+bX₂ также будет решением этой системы. Действительно, поскольку AX₁=0 и AX₂=0, то A(aX₁+bX₂) = aAX₁+bAX₂ = a·0+b·0 = 0. Именно вследствие этого свойства, если линейная система имеет более одного решения, то этих решений будет бесконечно много.