Свойства векторного произведения векторов
Геометрический смысл векторного произведения.
Модуль векторного произведения двух векторов a и b равен площади параллелограмма построенного на этих векторах:
Sпарал = [a × b]
Геометрический смысл векторного произведения.
Площадь треугольника построенного на векторах a и b равна половине модуля векторного произведения этих векторов:
SΔ = |
1 |
|a × b| |
2 |
Векторное произведения двух не нулевых векторов a и b равно нулю тогда и только тогда, когда вектора коллинеарны.
Вектор c, равный векторному произведению не нулевых векторов a и b, перпендикулярен этим векторам.
a × b = -b × a
(k a) × b = a × (k b) = k (a × b)
(a + b) × c = a × c + b × c
Примеры задач на вычисления векторного произведения векторов
Пример 1. Найти векторное произведение векторов a = {1; 2; 3} и b = {2; 1; -2}.
Решение:
a × b = |
i |
j |
k |
= |
1 |
2 |
3 |
||
2 |
1 |
-2 |
= i(2 · (-2) - 3 · 1) - j(1 · (-2) - 2 · 3) + k(1 · 1 - 2 · 2) = = i(-4 - 3) - j(-2 - 6) + k(1 - 4) = -7i + 8j - 3k = {-7; 8; -3}
Пример 2. Найти площадь треугольника образованного векторами a = {-1; 2; -2} и b = {2; 1; -1}.
Решение: Найдем векторное произведение этих векторов:
a × b = |
i |
j |
k |
= |
-1 |
2 |
-2 |
||
2 |
1 |
-1 |
= i(2 · (-1) - (-2) · 1) - j((-1) · (-1) - (-2) · 2) + k((-1) · 1 - 2 · 2) = = i(-2 + 2) - j(1 + 4) + k(-1 - 4) = -5j - 5k = {0; -5; -5}
Из свойств векторного произведения:
SΔ = |
1 |
|a × b| = |
1 |
√02 + 52 + 52 = |
1 |
√25 + 25 = |
1 |
√50 = |
5√2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
Ответ: SΔ = 2.5√2.
25. Смешанное произведение векторов и его свойство.
Смешанным
произведением векторов 
называется
число 
,
равное скалярному произведению
вектора на векторное произведение
векторов и 
.
Смешанное произведение обозначается 
.
Геометрический смысл смешанного произведения.
Выясним
геометрический смысл смешанного
произведения векторов 
и 
.
Отложим векторы и от одной точки и построим параллелепипед на этих векторах как на сторонах.
Обозначим 
.
В этом случае смешанное произведение
можно записать как 
,
где 
- числовая
проекция вектора
на
направление вектора
.
Абсолютная
величина числовой проекции
равна
высоте параллелепипеда, построенного
на векторах
и
,
так как вектор
перпендикулярен
и вектору 
и
вектору 
по
определению векторного произведения.
А в разделе геометрический
смысл векторного произведения мы
выяснили, что величина 
представляет
собой площадь параллелограмма,
построенного на векторах
и
.
Таким образом, модуль смешанного
произведения 
-
это произведение площади основания на
высоту параллелепипеда, построенного
на векторах
и
.
Следовательно, абсолютная
величина смешанного произведения
векторов представляет собой объем
параллелепипеда: 
.
В этом заключается геометрический смысл
смешанного произведения векторов.
О
бъем
тетраэдра, построенного на векторах
и
,
равен одной шестой объема соответствующего
параллелепипеда, таким образом, 
.