23.Модуль вектора. Длина вектора.

Определение длины вектора

Определение.

 Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора AB.

Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии слева и справа |AB|.

Основное соотношение. Длина вектора |a| в прямоугольных декартовых координатах равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.

Формулы длины вектора

Формула длины вектора для плоских задач

В случае плоской задачи модуль вектора a = {a_x ; a_y} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

|a| = √a_x² + a_y²

Формула длины вектора для пространственных задач

В случае пространственной задачи модуль вектора a = {a_x ; a_y ; a_z} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

|a| = √a_x² + a_y² + a_z²

Формула длины n -мерного вектора

В случае n-мерного пространства модуль вектора a = {a₁ ; a₂; ... ; a_n} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

|a| = (	n	ai2)1/2
	Σ
	i=1

Примеры задач на вычисление длины вектора

Примеры вычисления длины вектора для плоских задачи

Пример 1. Найти длину вектора a = {2; 4}.

Решение: |a| = √2² + 4² = √4 + 16 = √20 = 2√5.

Пример 2. Найти длину вектора a = {3; -4}.

Решение: |a| = √3² + (-4)² = √9 + 16 = √25 = 5.

Примеры вычисления длины вектора для пространственных задачи

Пример 3. Найти длину вектора a = {2; 4; 4}.

Решение: |a| = √2² + 4² + 4² = √4 + 16 + 16 = √36 = 6.

Пример 4. Найти длину вектора a = {-1; 0; -3}.

Решение: |a| = √(-1)² + 0² + (-3)² = √1 + 0 + 9 = √10.

Примеры вычисления длины вектора для пространств с размерностью большей 3

Пример 5. Найти длину вектора a = {1; -3; 3; -1}.

Решение: |a| = √1² + (-3)² + 3² + (-1)² = √1 + 9 + 9 + 1 = √20 = 2√5

Пример 6. Найти длину вектора a = {2; 4; 4; 6 ; 2}.

Решение: |a| = √2² + 4² + 4² + 6² + 2² = √4 + 16 + 16 + 36 + 4 = √76 = 2√19.

Угол между векторами.

Определение. Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором.

Основное соотношение. Косинус угла между векторами равен скалярному произведению векторов, поделенному на произведение модулей векторов.

Формула вычисления угла между векторами

cos α =	a·b
	|a|·|b|

Примеры задач на вычисление угла между векторами

Примеры вычисления угла между векторами для плоских задачи

Пример 1. Найти угол между векторами a = {3; 4} и b = {4; 3}.

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a·b = 3 · 4 + 4 · 3 = 12 + 12 = 24.

Найдем модули векторов:

|a| = √3² + 4² = √9 + 16 = √25 = 5 |b| = √4² + 3² = √16 + 9 = √25 = 5

Найдем угол между векторами:

cos α =	a · b	=	24	=	24	= 0.96
	|a| · |b|		5 · 5		25

Пример 2. Найти угол между векторами a = {7; 1} и b = {5; 5}.

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a·b = 5 · 7 + 1 · 5 = 35 + 5 = 40.

Найдем модули векторов:

|a| = √7² + 1² = √49 + 1 = √50 = 5√2 |b| = √5² + 5² = √25 + 25 = √50 = 5√2

Найдем угол между векторами:

cos α =	a · b	=	40	=	40	=	4	= 0.8
	|a| · |b|		5√2 · 5√2		50		5