17. Ортонормированный базис. Ортонормированный базис

Ортонормированный базис – это базис, состоящий из единичных (нормированных) и взаимно перпендикулярных (ортогональных) векторов. В этом случае базисные вектора имеют особые обозначения:

e₁ = i, e₂ = j, e₃ = k.

Координаты вектора обычно обозначаются буквами x, y, z:

a = {x, y, z} º xi + yj + zk.

Длина вектора в ортонормированном базисе равна

(7.5)

Вектор однозначно можно определить не только заданием его координат, но и заданием длины вектора и его направления. Направление вектора в ортонормированном базисе задается при помощи направляющих косинусов:

(7.6)

где a, b, g – углы между вектором a и базисными векторами i, j, k, соответственно. Очевидно, что направляющие косинусы совпадают с координатами орта вектора: a₀={cosa, cosb, cosg}. При этом

(7.7)

Пример 7.4. Найти координаты вектора a, если он составляет с вектором i угол 60⁰, с вектором j – 120⁰, а с векторов k – острый угол, при этом длина вектора |a|=2.

Решение. Учитывая, что a=60⁰, b=120⁰, найдем угол g из уравнения

Отсюда находим

Следовательно, g=45⁰ или 135⁰. По условию g – острый, т.е. g<90⁰. Тогда g=90⁰. Таким образом, получаем

т.е. орт вектора a имеет координаты

.

Поскольку |a|=2, то

или в явной форме

â

18. Классическое Евклидово пространство. Векторы-отрезки. Операции над векторами. Векторы отрезки

Единичным называется вектор, длина которого равна 1.

Отдельные точки плоскости, пространства удобно считать так называемым нулевым вектором.

У такого вектора конец и начало совпадают.

Нулевой вектор обычно обозначается как . Длина нулевого вектора, или его модуль равен нулю.

Коллинеарные вектора – вектора, которые параллельны одной прямой или которые лежат на одной прямой.

Сонаправленные вектора. Два коллинеарных вектора a и b называются сонаправленными векторами только тогда, когда их направления соответствуют друг другу: a↑↑b

Противоположно направленные вектора – два коллинеарных вектора a и b называются противоположно направленными векторами, только когда они направлены в разные стороны: a↑↓b.

Компланарные вектора – это те вектора, которые параллельны одной плоскости или те, которые лежат на общей  плоскости. В любое мгновение существует плоскость одновременно параллельную двум любым векторам, поэтому два произвольных вектора являются компланарными.

Равные вектора. Вектора a и b будут равными, если они будут лежать на одной либо параллельных прямых и их направления и длины одинаковые. То есть, такой вектор можно перенести параллельно ему в каждое место плоскости. Таким образом, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые и имеют одинаковые длины: