10) Другая запись формулы Тейлора и остаточного члена.
Часто формулу Тейлора 1 записывают в ином виде, положим в (1) а=х0
х-а=∆х;
х=х0+∆х,
тогда
*(∆х)n-1;
(5)
0<θ<1
При n=0 из (5) получается формула Лагранжа.
Покажем, что если функция f(n+1) ограничена в окрестности точки (а), то остаточный член
Rn+1(x) является бесконечно малой более высокого порядка, чем(х-а)n, x→a.
limx→a
;
Таким образом Rn+1(x)=0[(x-a)n] при x→а (6)
формула (6) называется остаточным членом в форме Пеано.
11) Формула Маклорена.
Формулой Маклорена называют формулу Тейлора (1), при а=0
;
Остаточный член имеет вид:
1. В форме Логранжа.
2. В форме Пиано.
С помощью формулы Маклорена функцию можно с определённой степенью точности заменять многочленами, являющимися наиболее простыми элементарными функциями.
12) Первообразные и неопределённый интеграл.
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке Х, если для всех значений х из этого промежутка выполняется равенство F’(x)=f(x).
Если F(x) первообразная для f(x) то функция F(x)+с, где с – произвольная постоянная, также является первообразной для f(x).
Лемма. Функция производная которой на некотором промежутке Х =0 постоянна на этом промежутке.
Теорема. Если F(x) первообразная для функции f(x) на некотором промежутке х, то любая другая первообразная для f(x) на этом промежутке может быть представлена в виде F(x)+с, где с – произвольная постоянная.
13) Неопределённый интеграл.
Если F(x) первообразная для функции f(x) на некотором промежутке Х, то множество функций F(x)+с, где с – произвольная постоянная, называется неопределённым интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается ∫f(x)dx=F(x)+c, где f(x) – под интегральная функция, f(x)dx – под интегральное выражение, х – переменная интегрирования.
14) Основные свойства неопределенных интегралов.
1) производная неопределённого интеграла равна под интегральной функции;
2) дифференциал от неопределённого интеграла равен интегральному выражению.
3) неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной;
4) постоянный множитель можно выносить из под знака ∫;
5) неопределённый интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме от этих чисел в отдельности.
15) Таблица основных интегралов.
1) ∫хаdx=(xa+1/a+1)+c;
2) ∫dx/x=ln(x)+c;
3) ∫dx/1+x2=arctg(x)+c;
4) ∫dx/√(1+x2)=arsin(x)+c;
5) ∫adx=ax/ln(a)+c;
6) ∫exdx=ex+c;
7) ∫sin(x)dx=-cos(x)+c;
8) ∫cos(х)dx=sin(x)+c;
9) ∫dx/cos(х)=tg(x)+c;
10) ∫dx/sin(x)=-ctg(x)+c;
11) ∫dx/(х2-a2)=1/2a*ln((x-a)/(x+a))+c;
12) ∫dx/√(х2-a2)=ln(x+√(x2+a))+c;
13) ∫dx/(х2+a2)=1/a*arctg(x/a)+c;
14) ∫dx/√(х2-a2)=arsin(x/a)+c;
16) Основные методы интегрирования.
1) Непосредственное интегрирование. Интегрирование используя таблицу интегралов и привил интегрирования.
2) Метод подстановки. Во многих случаях этот способ позволяет свести нахождение интеграла к обычному интегрированию. Такой метод еще называется методом замены переменной. Вывод такого способа интегрирования идет из теоремы. Теорема: Пусть функция x=g(t) определена и дифференцируема на промежутке Т, и пусть Х множество значений функции на котором определена функция f(x), тогда множество Х, функция имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула: ∫f(x)dx=∫f(g(t)*g’(t)dt
3) Метод интегрирования по частям. Теорема: Пусть функция U(x) и V(x) определены и дифференцируемы на отрезке Х. И пусть функция U’(x)V(x) имеет первообразную на этом промежутке, тогда на промежутке X, функция U(x)V’(x) так же имеет первообразную, и справедлива формула: ∫U(x)V’(x)dx=U(x)V(x)- ∫V(x)U’(x)dx