6) Направление выпуклости и точки перегиба графика.
Будем говорить что график функции y=f(x) имеет на (a,b) выпуклость направленную вниз (вверх), если он расположен, не ниже (не выше) любой касательной к графику функции на (a,b).
Теорема. Если функция y=f(x) имеет на (a,b) вторую производную и f’(x)=>0 (f(x)<=0), то во всех точках (a,b) график функции y=f(x) имеет выпуклость направленную вниз (вверх).
Точка M (x0,f(x0)) называется точкой перегиба графика функции y=f(x) если в точке M график имеет касательную и существует такая окрестность в точке x0 в пределах которой график функции y=f(x) слева и справа от точки x0 имеет разное направление выпуклости.
Теорема (Необходимое условие точки перегиба). Пусть график функции y=f(x) имеет перегиб в точке M (x0,f(x0)) и пусть функция y=f(x) имеет в точке x0 непрерывную вторую производную f’’(x) в точке x0 обращается в 0.
Теорема (Достаточное условие точки перегиба). Пусть функция y=f(x) имеет вторую производную в некоторой окрестности точки x0, тогда если в пределах указанной окрестности f’’(x) имеет разные знаки слева и справа точки x0, то график y=f(x) имеет перегиб в точке M (x0,f(x0)).
7) Асимптоты графика функций.
При исследовании поведения функции на бесконечности т.е. при х→+∞ и х→-∞ или в близи точек разрыва второго рода часто оказывается, что график функции сколь угодно близко приближается к той или иной прямой, такие прямые называются асимптотами.
Существует 3-и вида асимптот : вертикальные, горизонтальные и наклонные
Опр.
Прямая х=х0 называется вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), если хотя бы одно из предельных значений limх→х0+ f(x) limх→х0- f(x), равно +∞ или -∞.
Опр.
Прямая у=А называется горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x), при х→+∞ или х→-∞, если limх→+∞ f(x) или limх→-∞ f(x) равняется А.
Опр.
Прямая у=kx+b (k неравно 0) называется наклонной асимптотой графика функции y=f(x), при х= +∞(-∞), если функцию f(x) можно представить в виде f=kx+в+α(x), α(x) →0, при х→+∞( х→-∞).
8) Схема исследования графика функции.
1) Найти область определения функции.
2) Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
3) Найти асимптоты.
4) Найти точки возможного экстремума.
5) Найти критические точки.
6) С помощью вспомогательного чертежа исследовать знак первой и второй производной, Определить участки возрастания и убывания функции.
найти направления выпуклости графика, точки экстремума и точки перегиба.
7) Построить график, учитывая исследования, проведённые в пунктах 1-6.
9) Формула Тейлора.
Теорема.
Пусть функция f(x) имеет в точке А и некоторой её окрестности производные порядка n+1, пусть х - некоторое значение аргумента из указанной окрестности х не равно А, тогда между точками х и А найдётся точка δ, такая, что справедлива следующая формула:
Формула Rn+1(x)
=
Называется формулой Тейлора, а выражение
Rn+1(x)
– остаточным членом в форме Лагранжа.
Его можно переписать в другом виде т.
к. точка δ принадлежащая (а,х), по найдётся
такое число θ (тетта), 0< θ<1, что δ= а+
θ (х-а), и остаточный член примет вид:
Rn+1(x)
=