2. Необходимое условие экстремума.

Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если в точке  дифференцируемая функция  имеет экстремум, то её частные производные в этой точке равны нулю:  и  .

Зафиксируем одной из переменных. Положим, например, у = у₀. Тогда получим функцию  одной переменной, которая имеет экстремум при  . Следовательно, согласно необходимому условию экстремума функции одной переменной,  ,  .

Аналогично можно показать, что  .

Геометрически равенства  и  означают, что в точке экстремума функции  касательная плоскость к поверхности, изображающей функцию  , параллельна плоскости 0ху, т. к уравнение касательной плоскости есть z = z₀.

Замечание. Функция может иметь экстремум в точках, где хотя бы одна из частных производных не существует. Например, функция  имеет максимум в точке 0(0,0), но не имеет в этой точке частных производных.

Точка, в которой частные производные первого порядка функции  равны нулю, т. е.  ,  , называется стационарной точкой функции.

В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума. Рассмотрим, например, функцию  . Для неё точка 0(0,0) является критической (в ней  и  обращаются в ноль). Однако экстремума в ней функция  не имеет, т. к. в достаточно малой окрестности точки 0(0,0) найдутся точки, для которых  (точки I и III четвертей) и  (точки II и IV четвертей).

Таким образом, для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо каждую критическую точку функции подвергнуть дополнительному исследованию.

Теорема 2 (достаточное условие экстремума). Пусть в стационарной точке  и некоторой её окрестности функция  имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке  значения  ,  ,  . Обозначим

 

 

Тогда:

1. если  , то функция  в точке  имеет экстремум: максимум, если A < 0, минимум, если A > 0;

2. если  , то функция  в точке  экстремума не имеет.

В случае  экстремум в точке  может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования. Примем без доказательства.

Пример 1. Найти экстремум функции 

Решение: Здесь  Точки, в которых частные производные не существуют, отсутствуют.

Найдем стационарные точки, решая систему уравнений:

Отсюда получаем точки М₁(6;3) и М₂(0;0).

Находим частные производные второго порядка данной функции:

 

 

В точке М₁(6;3) имеем: А = –18, В = 36, С = – 108, отсюда

АС – В² = -18(-108)-36² = 648,

т. е.  . 

В точке М₂(0;0) имеем: А = 0, В = 0, С = 0, и, значит,  . Проведем дополнительное исследование. Значение функции z в точке M₂ равно нулю:  . Можно заметить, что  ; 

Значит, в окрестности точки М₂(0,0) функция z принимает как отрицательные, так и положительные значения. Следовательно, в точке М₂ функция экстремума не имеет.

3. Модели функций спроса и предложения.

Спрос и его функция.

Чтобы построить четкую модель рынка, необходимо исследовать в идеальных условиях (при совершенной конкуренции) взаимодействие важнейших категорий рынка - спроса и предложения, за которыми стоят покупатели и продавцы.

Спрос - это количество товаров (услуг), которое покупатели готовы приобрести на рынке.

Величина спроса зависит от ряда факторов. Такую зависимость принято называтьфункцией спроса:

где (2аа - функция спроса на товар; Ра - цена товара; Рь , - цены других товаров, в том числе товаров-заменителей и сопутствующих; К-денежные доходы покупателей; £ - вкусы и предпочтения людей; М - потребительские ожидания; /V- общее число покупателей; Т-накопленное имущество людей.

Основной фактор спроса - цена товара, поэтому зависимость можно упростить:

Функцию спроса можно представить также в виде графика (рис. 10.1).

Соединение между собой точек на графике, каждая из которых является конкретной комбинацией цены и количества, позволяет построить кривую спроса О.

Предложение и его функция.

Предложение - это количество товаров (услуг), которое продавцы готовы продать на рынке. Как и спрос, оно зависит от ряда факторов и может быть формализовано:

где Ом - предложение товара; Ра - цена товара; Рк _ - цены других товаров, в том числе товаров-заменителей и сопутствующих; С - наличие проиводственных ресурсов; К- при-

Рис. 10.1. Функция спроса

меняемая технология (время); Я - налоги и дотации у производителей; N - число продавцов.

Основной фактор предложения - тот же, что и спроса, - цена.

Функцию предложения также можно задать с помощью таблицы, которую легко перевести в график (рис. 10.2).

Соединение точек на графике позволяет построить кривую предложения 5, которая имеет восходящий вид.

Рис. 10.2. Функция предложения