28. Достаточные условия экстремума фнп (по угловым минорам).

Случай функции нескольких переменных ( )

Критерий Сильвестра:

Пусть квадратичная форма записана в виде матрицы

Эта форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все его главные миноры положительны.

Форма является отрицательно определенной, если ее главные миноры имеют чередующиеся знаки, начиная с отрицательного:

.

Задача: Исследовать функцию многих переменных   на экстремум и вычислить экстремальное значение функции. Решение:

1) Необходимое условие экстремума.

Необходимым условием экстремума функции является равенство нулю первых частных производных (все то же самое, что и для случая двух переменных, только уравнений в системе столько же, сколько переменных в функции). Точки  , являющиеся решением системы:

называются стационарными точками функции F.

Достаточное условие экстремума.

Если квадратичная форма

,

( т.е. квадратичная форма, составленная из вторых производных функции, вычисленных в стационарной точке ) положительно определена, то в этой точке функция имеет минимум, если квадратичная форма отрицательно определена, то максимум. Если квадратичная форма является неопределенной (т.е. принимает и отрицательные и положительные значения при одних значениях переменных), то экстремума в этой точке нет. Для определения знака определенности квадратичной формы удобнее всего применять критерий Сильвестра. Пример:  Решение задачи № 2018 из сборника: Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов, под ред. Б.П. Демидовича

Найти экстремум функции трех переменных

.

Решение: 1) Необходимое условие экстремума

Точка, подозрительная на экстремум:  2) Достаточное условие экстремума.

Применим критерий Сильвестра

Все миноры положительны, значит, квадратичная форма является положительно определенной и функция имеет в этой точке минимум.

Ответ: 

29. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы.

Критерий Сильвестра: Пусть квадратичная форма записана в виде матрицы

Эта форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все его главные миноры положительны.

Форма является отрицательно определенной, если ее главные миноры имеют чередующиеся знаки, начиная с отрицательного:

.

30. Предельная норма замещения одного товара другим.

Все стандартные кривые безразличия не только имеют отрицательный наклон, но и вогнуты к началу координат карты безразличия. Степень вогнутости зависит от степени замещения одного товара другим.

Предельная норма замещения (MRS) товаром   товара   показывает количество товара  , которым потребитель готов пожертвовать, ради приобретения одной дополнительной единицы товара  , при сохранении общего уровня удовлетворения неизменным.

MRS = ΔQ₂ / ΔQ₁

Данное соотношение в силу убывающего характера стандартной кривой безразличия всегда отрицательно. Иногда для удобства перед правой частью вводят минус, что делает значение   положительным, однако в большинстве случаев нас интересует абсолютное значение коэффициента. Если представить зависимость между количеством  ,   и уровнем полезности   в виде функции типа  , то предельная норма замещения равна производной функции полезности:  . Графически   равна тангенсу угла наклона касательной к кривой безразличия в данной точке.

Принцип убывания MRS

Очевидно, что степень замещения товара   товаром   не остается постоянной при движении вдоль кривой безразличия.

При перемещении вниз по кривой предельная норма замещения уменьшается, так как остающиеся единицы товара  приобретают в глазах потребителя бОльшую ценность, а дополнительные единицы товара   приносят все меньшее добавочное удовлетворение (или предельную полезность если выражаться языком кардиналистской теории).

Предельная норма замещения и предельная полезность

При движении вдоль кривой безразличия совокупная полезность остается неизменной, другими словами, потеря полезности от сокращения потребления товара   компенсируется приобретением большего количества товара  .

Дополнительная полезность, приобретаемая, или теряемая потребителем, есть ни что иное как предельные полезности рассматриваемых товаров.

Таким образом получаем: ΔQ₂*MU₂ = ΔQ₁*MU₁

то есть: -ΔQ₂ / ΔQ₁ = MU₁ / MU₂

Основные свойства MRS:

• Предельная норма замещения товара Q2 товаром Q1 равна отношению их предельных полезностей, то есть MU₁ кMU₂. Отрицательный знак в выражении означает, что чем больше одного товара (Q1), тем меньше другого товара (Q2) должно быть в потребительском наборе, с тем чтобы совокупная полезность осталась неизменной.

• Если любые две точки на кривой безразличия сливаются в одну, то MRS равна тангенсу угла наклона касательной к кривой безразличия в данной точке.

• Предельная норма замещения имеет значение только при движении по кривой безразличия, но никогда — при перемещении между кривыми

• Принцип убывания MRS не является универсальным и выполняется только для кривых безразличия стандартного вида.