Перечень экзаменационных вопросов:

1. Суммарные, средние и предельные величины в экономике.

2. Необходимое условие экстремума.

3. Модели функций спроса и предложения.

4. Стандартная и каноническая формы ЗЛП.

5. Графический метод решения ЗЛП.

6. Взаимно-двойственные ЗЛП и их экономический смысл.

7. Теоремы двойственности и их экономический смысл.

8. Решение ЗЛП с помощью двойственной ЗЛП.

9. Симплекс метод решения ЗЛП (схема).

10. Постановка транспортной задачи. Нахождение опорного решения методом минимальной стоимости.

11. Решение транспортной задачи методом потенциалов (схема решения).

12. Постановка транспортной задачи. Нахождение опорного решения методом северо-западного угла.

13. Решение транспортной задачи сведением ее к стандартной ЗЛП.

14. Нахождение опорного решения транспортной задачи методом минимальной стоимости.

15. Задача дробно-линейного программирования на примере максимизации рентабельности.

16. Условие выпуклости функций нескольких переменных.

17. Условия Куна-Таккера в задаче нелинейного программирования.

18. Пример задач нелинейного программирования и графический метод их решения.

19. Метод множителей Лагранжа нахождения условного экстремума.

20. Достаточные условия экстремума ФНП (по второму дифференциалу).

21. Система уравнений фирмы (равенство предельного продукта данного ресурса его цене).

22. Модель прибыли фирмы.

23. Изокванты производственной функции Кобба-Дугласа.

24. Производственная функция Кобба-Дугласа.

25. Решение, оптимальное по Парето (на примере).

26. Система уравнений фирмы (равенство предельного продукта данного ресурса его цене).

27. Производственная функция и ее экономико-математические свойства.

28. Достаточные условия экстремума ФНП (по угловым минорам).

29. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы.

30. Предельная норма замещения одного товара другим.

31. Производственная функция Кобба - Дугласа.

1. Суммарные, средние и предельные величины в экономике.

Теория предельного анализа

Вариант 1

Понятие предельной величины

Под предельной величиной (маржинальной величиной, англ. marginal – находящийся на краю) понимают прирост одной величины, вызванный приростом другой величины на единицу при условии, что все остальные величины остаются неизменными.

В примере с пшеницей прирост минеральных удобрений на единицу (мешок) дает различный прирост урожая. Все приведенные величины прироста урожая (5, 7, 10, 9, 7, 4 ц) и будут предельными величинами, точнее, предельными продуктами такого ресурса, как минеральные удобрения. В соответствии с законом убывающей отдачи величина этого предельного продукта с конкретного момента начинает снижаться. В соответствии с законом возрастающих затрат вначале снижаются, но с определенного момента растут затраты минеральных удобрений (их называют предельными издержками) на прирост каждого центнера пшеницы. Можно сделать вывод, что в этом случае изменяется и доход, получаемый от применения каждого дополнительного мешка удобрений, – его называют предельным доходом.

Предельные величины используются не только производителем, но и потребителем. Например, при оценке им полезности того или иного блага. Потребитель исходит прежде всего из доступности (редкости) для него того или иного блага. Если чистая питьевая вода для него редкость, то за каждый литр ее он готов дорого заплатить (исходя из своей покупательной способности). Но по мере все большей доступности для потребителя питьевой воды он оценивает ее полезность для себя во все меньшую величину и готов платить намного меньше за каждый новый литр. Таким образом, по мере увеличения количества блага его предельная полезность снижается, убывает.

Все это частные случаи теории предельного анализа (предельных величин, маржинального анализа, маржинализма, маржиналистской теории). Она широко используется в экономической теории и практике и базируется на постоянном соотнесении производимых благ (пшеница) или уже имеющихся благ (питьевая вода) с затратами на их производство или их доступностью (редкостью).

Важнейшая идея предельного анализа состоит в том, что на определенном этапе затраты на производство блага начинают расти быстрее, чем само производство этого блага. Другая важнейшая идея предельного анализа такова: чем обильнее благо, тем менее оно ценится.

Общие и средние величины

В маржинальном анализе наряду с предельными величинами используются понятия общей и средней величины.

Общая величина – это суммарный объем произведенной продукции. В примере с пшеницей это 20, 25, 32, 42, 51,58, 62 ц собранного урожая (в зависимости от количества вносимых удобрений).

Средняя величина – это среднее от деления общей величины на количество переменного ресурса.

Среднюю величину можно рассматривать как отдачу от переменного ресурса. В нашем случае это сбор пшеницы в расчете на один мешок удобрений – 20 ц без применения удобрений, 25 ц при применении одного мешка, 16 ц при применении двух мешков, 14 ц – трех мешков, 12,75 ц – четырех мешков и т.д. по убывающей.

Как мы видим, наибольший урожай фермер соберет при внесении 6 мешков удобрений на гектар, наибольший прирост урожая (предельный продукт) даст применение 3 мешков удобрений, но наибольшая отдача – от первого мешка.

Теория предельного анализа имеет важное значение для оптимальной комбинации ресурсов при производстве продукции. В нашем случае, если удобрения дешевы, фермер будет вносить 6 мешков на гектар, если дороги – 3 мешка, если очень дороги – всего 1 мешок, а если мешок удобрений стоит дороже, чем выручка фермера от продажи 5 ц пшеницы, то вообще откажется от применения удобрений. Кстати, в современной России внесение минеральных удобрений в расчете на гектар пашни растет, но оно все еще в два раза ниже, чем в конце 1980-х гг., когда удобрения были дешевы для сельхозпроизводителей. Более подробный анализ оптимальной комбинации ресурсов будет приведен в π. 11.4.

Вариант 2

Суммарная величина (F(x) ). Под суммарной величиной мы будем понимать любую функцию независимой переменной F(x). Как правило, в экономике под суммарными понимаются абсолютные величины, но, вообще говоря, формальное понятие суммарной величины является относительным (то есть любая величина может рассматриваться как суммарная по отношению к другим, своим предельным и средним величинам). В экономике в роли суммарных величин выступают: доход (выручка) или издержки как функции объема выпуска (R(Q) или С(Q)). объем выпуска как функция от количества переменного ресурса, например труда, — Q(L), полезность как функция количества потребляемого блага U{x) и другие экономические показатели. Любая из перечисленных функций может быть задана в виде формулы, например, F(x) = ax2 - bx; графика, например, показанного на рис. 8.4.1. Средняя величина (AF(x)) определяется как отношение суммарной величины к независимой переменной AF(x)=F(x)/x. Буква А — сокращение от average (средняя). Средняя величина может обозначаться также   = AF(x'). Примеры средних величин в экономике: средне душевой объем потребления, средняя фондоотдача, средняя выручка (доход) AR=R(Q)/Q, средние издержки АС =C(Q)/Q, средний продукт труда AQL =Q(L)/L и т.д. Средняя величина, как функция независимой переменной, также может задаваться в формульном или графическом виде. Маржинальная (предельная) величина (MF{x)) определяется как производная суммарной величины F(x) по независимой переменной х: MF(x) =F'(x) =   в случае, когда независимая переменная меняется непрерывно. Если суммарная величина меняется дискретно, то под маржинальной (предельной) величиной понимают отношение изменения  F(x) суммарной величины F(x) к вызвавшему это изменение изменению (приращению)  х  независимой переменной  х: MF(x) = . В этом случае маржинальную (предельную) величину можно интерпретировать как изменение суммарной величины, вызванное увеличением независимой переменной на единицу (в соответствующем масштабе). Примеры предельных величин в экономике: предельная выручка (доход) MR==R'(Q) или  , предельные издержки МС==С'(Q) или  , предельный продукт труда MQL,=Q’(L) или —, предельная полезность MUx=U'(x) или   и т.д. Предельная величина, как и все предыдущие, может задаваться формулой или в графическом виде. Встречаясь с этими величинами в экономике, часто приходится использовать соотношения между ними (например, между суммарными, средними и предельными издержками) и решать задачи на нахождение по одной из этих величин двух других (например, среднего и предельного дохода по суммарному доходу). Задачи, решаемые экономической наукой и практикой, делятся в зависимости от учета фактора времени на статические и динамические. Статика изучает состояния экономических объектов, относящиеся к определенному моменту или периоду времени, без учета изменения их параметров во времени. В динамических задачах отражается не только зависимость переменных от времени, но и их взаимосвязи во времени. Например, динамика инвестиций определяет динамику величин основного капитала, что в свою очередь является важнейшим фактором изменения объема выпуска. Время в экономической динамике может рассматриваться как непрерывное или дискретное. Непрерывное время удобно для моделирования, так как позволяет использовать аппарат дифференциального исчисления и дифференциальных уравнений. Дискретное время удобно для приложений, поскольку статистические данные всегда дискретны и относятся к конкретным единицам времени. Для дискретного времени может использоваться аппарат разностных уравнений. Заметим, что большинство известных моделей экономической динамики существуют как в непрерывном, так и в дискретном вариантах. В обоих вариантах для них могут быть получены, как правило, аналогичные результаты, и уровень сложности самих моделей примерно одинаков.1