24. Метод наименьших квадратов. Постановка задачи.

Пусть на основании эксперимента необходимо установить функциональную зависимость между двумя переменными величинами х и у. Например, между температурой и удлинением прямолинейного металлического стержня. По результатам измерений составим следующую таблицу:

х	х1	х2	…	хi	…	xn
у	у1	у2	…	yi	…	yn

Установим теперь вид функции у=f (x) по характеру расположения на координатной плоскости экспериментальных точек. В данном случае естественно предположить, что между х и у существует линейная зависимость, выражающаяся формулой

y = ax + b (1)

Ограничимся только случаем линейной зависимости.

Так как точки (х₁ ; у₁), (х₂ ; у₂),….,( х_n ; у_n ) не лежат точно на прямой, а лишь вблизи нее, то формула (1) является приближенной. Поэтому, подставляя значения координат точек в выражение у – (ах+b), получаем равенства у₁ – (ах₁ + b ) = δ₁, у₂ – (ах₂ + b ) = δ₂,…, у_n – (ax_n + b) = δ_n,

где δ₁, δ₂,…., δ_n – некоторые числа, которые назовем погрешностями.

Поставим задачу подобрать коэффициенты а и b таким образом, чтобы эти погрешности были возможно меньше по абсолютной величине. Для решения этой задачи воспользуемся методом наименьших квадратов. Рассмотрим сумму квадратов погрешностей.

Здесь х_i и y_i – заданные числа, а коэффициенты а и b – неизвестные числа, подлежащие определению, исходя из условий минимума S(a, b), т.е. S(a, b) можно рассматривать как функцию двух переменных a и b и исследовать ее на экстремум .

Таким образом, задача свелась к нахождению значений а и b, при которых функция S(a, b) имеет минимум . Имеем

Приравнивая эти частные производные к нулю, получаем линейную систему двух уравнений с двумя неизвестными a и b:

(2)

Система (2) называется нормальной системой метода наименьших квадратов. Из этой системы находим числа a и b и затем, подставляя их в уравнение (1), получаем уравнение искомой прямой.

Тот факт, что функция S ( a, b ) в найденной точке М (a; b) имеет минимум, легко устанавливается с помощью частных производных второго порядка. Имеем

Следовательно,

Это выражение можно записать в виде откуда следует, что Δ>0. Так как то в точке М (a; b) функция S (а, b) имеет минимум.

25. Первообразная, неопределённый интеграл. Определения.

Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство   для любого х из заданного промежутка.

Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство  . Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы С, причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается  .

Выражение   называют подынтегральным выражением, а f(x) – подынтегральной функцией. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x).

Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C.

На основании свойств производной можно сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).

1. Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.

2. Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.

3. , где k – произвольная константа. Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.

4. Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.