21. Частные производные первого и второго порядка. Смешанная производная второго порядка

Частные производные первого порядка. Пусть функция z=f(x,y)  определена в области D и (x_0, y₀)∊D . Тогда при малых   определено ее частное приращение по x:

.

 Определение. Частной производной функции f(x,y)  по переменной  x в точке   называют предел

,

если он существует.

Частную производную по x обозначают одним из следующих символов:

.

Аналогично определяется частная производная по y и вводятся ее обозначения.

         Легко видеть, что частная производная – это производная функции одной переменной, когда значение другой переменной фиксировано. Поэтому частные производные вычисляются по тем же правилам, что и вычисление производных функций одной переменной.

Частные производные высших порядков. Рассматривая частные производные и

 как функции от (x,y)∊D, приходим к понятиям частных производных второго порядка. А именно, выражения

,     

называют частными производными второго порядка функции f(x,y)  по x и по y соответственно, а выражения

,     

– смешанными частными производными второго порядка функции f(x.y). Их обозначают также символами:  ,  ,   и  . Аналогично определяют частные производные 3-го

         

22. Исследование функции двух переменных на экстремум.

Пусть функция z=f(x,y) определена в некоторой окрестности точки (x₀,y₀). Говорят, что (x₀,y₀) – точка (локального) максимума, если для всех точек (x,y) некоторой окрестности точки (x₀,y₀) 

выполнено неравенство f(x,y)<f(x₀,y₀). Если же для всех точек этой окрестности выполнено условие f(x,y)>f(x₀,y₀), то точку (x₀,y₀) называют точкой (локального) минимума.

Точки максимума и минимума часто называют общим термином – точки экстремума.

Если (x₀,y₀) – точка максимума, то значение функции f(x₀,y₀) в этой точке называют максимумом функции z=f(x,y). Соответственно, значение функции в точке минимума именуют минимумом функции z=f(x,y). Минимумы и максимумы функции объединяют общим термином – экстремумы функции.

Алгоритм исследования функции z=f(x,y) на экстремум

1. Найти частные производные  и  . Составить и решить систему уравнений  Точки, координаты которых удовлетворяют указанной системе, называют стационарными.

2. Найти   и вычислить значение  в каждой стационарной точке. После этого использовать следующую схему:

   1. Если Δ>0 и  (или  ), то в исследуемая точка есть точкой минимума.

   2. Если Δ>0 и  (или  ), то в исследуемая точка есть точкой максимума.

   3. Если Δ<0, то в рассматриваемой стационарной точке экстремума нет.

   4. Если Δ=0, то ничего определённого про наличие экстремума сказать нельзя; требуется дополнительное исследование.

23. Линия уровня функции двух переменных и вектор-градиента.

Линией уровня функции двух переменных называется линия на плоскости XOY, принадлежащая  , в каждой точке которой функция принимает одно и то же значение.

Уравнение линии уровня: f(x, y)=c, где с - произвольное число. На данной линии уровня значение функции z=c. Линий уровня бесконечно много, и через каждую точку области определения можно провести линию уровня.

Градиентом функции в точке называется вектор с началом в точке М, имеющим своими координатами частные производные функции z:

Градиент указывает направление наибыстрейшего роста функции в данной точке. Производная в направлении градиента имеет наибольшее значение, равное