Исследование функции на экстремум с помощью производной

Признаки  максимума и минимума функции:

Если при переходе через стационарную точку х0  производная f'(x)  данной функции меняет знак с « – » на « + »,  то функция в этой точке х₀ имеет минимум. Если при переходе через стационарную точку х₀ производная f'(x) данной функции меняет знак с « + » на « – »,  то функция в этой точке х₀ имеет максимум.

Алгоритм нахождения максимума и минимума функции.
1. Найти Д(f). 2. Найти f'(x). 3. Найти стационарные  точки, т.е. точки, где  f'(x) = 0 или  f'(x) не существует. 4. Расположить Д(f) и эти точки на координатной прямой. 5. Определить знаки производной на каждом из интервалов. 6. Применить признаки. 7. Найти уmax , уmin 8. Записать ответ.

18. Использование производной для исследования функции на выпуклость и точки перегиба графика функции.

Пусть функция y=f(x)  определена на интервале (a;b)  и имеет непрерывную, не равную нулю в точке  вторую производную. Тогда, если f’’(x)>0  всюду на интервале (a;b), то функция имеет вогнутость на этом интервале, если f’’(x)<0 , то функция имеет выпуклость.

Если функция y=f(x)  имеет перегиб в точке  M(x₁); f(x₁)), то f’’(x₁)=0  или не существует.

Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость

1. Найти вторую производную функции.

2. Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.

3. Исследовать знак производной слева и справа от каждой найденной точки и сделать вывод об интервалах выпуклости и точках перегиба.

19. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала.

Определение. Дифференциалом функции в некоторой точке x называется главная, линейная часть приращения функции.

Дифференциал функции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной x (аргумента).

Это записывается так: или или же

Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функции

 y = f(x) равен приращению ординаты касательной S, проведённой к графику этой функции в точке M(x; y), при изменении x (аргумента) на величину   (см. рисунок).

20. Функция двух переменных. Область определения функции.

Функцией двух переменных называется закон, по которому каждой паре значений независимых переменных   (аргументов) из области определения соответствует значение зависимой переменной   (функции).

Данную функцию обозначают следующим образом: z=f(x,y)  либо z=z(x;y), или же другой стандартной буквой: u=f(x;y), u=u(x;y). 

Поскольку упорядоченная пара значений «икс» и «игрек» определяет точку на плоскости, то функцию также записывают через z=f(M) , где M – точка плоскости XOY  с координатами (x;y).

Областью определения функции двух переменных z=f(x,y)  называется множество всех пар (x;y), для которых существует значение z.

Графически область определения представляет собой всю плоскость XOY либо её часть. Так, областью определения функции   является вся координатная плоскость XOY – по той причине, что для любой точки (x;y) существует значение z.