14. Производная обратной и сложной функции.

Пусть теперь задана сложная функция , т.е. переменная y есть функция переменной , а переменная u есть, в свою очередь, функция от независимой переменной x.

Теорема. Если y=f(u) и  - дифференцируемые функции своих аргументов, то сложная функция  является дифференцируемой функцией и ее производная равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу и производной промежуточного аргумента  по независимой переменной:

Утверждение легко получается из очевидного равенства предельным переходом при .

Перейдем к рассмотрению производной обратной функции.

Пусть на множестве   дифференцируемая функция  y=f(x)  имеет множество значений y и на множестве y существует обратная функция x=

Теорема. Если в точке x₀ производная y’=f’(x₀) , то производная обратной функции x=  в точке  существует и равна обратной величине производной данной функции:

, или

15. Производные элементарных функций.

16. Правило Лопиталя.

Правило Лопита́ля  — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида {\displaystyle 0/0}0/0 и {\displaystyle \infty /\infty } . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Пусть функции y=f(x) и y=g(x)  удовлетворяют следующим условиям:

1) эти функции дифференцируемы в окрестности точки α, кроме, может быть, самой точки α;

2)  и в этой окрестности;

3) ;

4)   существует конечный или бесконечный.

Тогда существует и  , причем

 

17. Использование производной для исследования функции на монотонность и экстремум. Исследование функции на возрастание и убывание (монотонность).

Определение. Точка называется критической (стационарной), если она является внутренней точкой области определения и производная в ней равна нулю или не существует.

Признаки возрастания и убывания функции:

Если производная данной функции положительна для всех значений х в интервале (а; в),   т.е.

f'(x) > 0,  то функция в этом интервале возрастает.  Если производная данной функции отрицательна для всех значений х в интервале(а; в), т.е.f'(x) < 0, то функция в этом интервале убывает.

Алгоритм нахождения промежутков возрастания и убывания
1. Найти Д(f). 2. Найти f’(x). 3. Найти стационарные  точки, т.е. точки, где  f'(x) = 0 или f'(x) не существует. (Производная равна 0 в нулях числителя, производная не существует в нулях знаменателя) 4. Расположить Д(f) и эти точки на координатной прямой. 5. Определить знаки производной на    каждом из интервалов 6. Применить признаки. 7. Записать ответ.