8. Сравнение бесконечно малых функций. Список эквивалентных малых функций.

Пусть  α(x)  и  β(x)  – бесконечно малые функции при   . Предел отношения этих величин может принимать любые значения – в зависимости от быстроты убывания одной величины относительно другой. Для сопоставления скоростей убывания этих величин при стремлении  x  точке  a  можно использовать предел отношения

Если этот предел представляет собой конечное ненулевое число то  α(x) и  β(x)  называются 

бесконечно малыми одного и того же порядка.        Особый интерес представляет частный случай, когда  λ = 1. Тогда говорят, что  α(x)  и  β(x)  являются эквивалентными бесконечно малыми при   и записывают это утверждение в виде α(x) ~ β(x) 

      Если  λ = 0, то говорят, что  α(x)   является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с  β(x)   при    а функция  β(x)  имеет меньший порядок малости.        Термин “порядок малости” допускает уточнение, если α(x)  и  βⁿ(x) представляют собой бесконечно малые одного и того же порядка. В этом случае говорят, что  α(x) является бесконечно малой  n-го порядка по сравнению с   β(x). Например, функция      является бесконечно малой 4-го порядка по сравнению с     при  x → 0.        Если  λ = ∞, то бесконечно малые  α(x)  и  β(x )как бы меняются своими ролями. В этом случае функция   β(x)  является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с  α(x)  при      Сформулируем некоторые полезные свойства эквивалентных бесконечно малых.

1. Если  α(x)  и  β(x)  – эквивалентные бесконечно малых при    то их разность есть бесконечно малая более высокого порядка.  Действительно,

Для записи такого утверждения используется выражение α-β=0(α)

2. Бесконечно малые  α(x)  и  λβ(x)  являются эквивалентными, если  α(x)  и  β(x)  являются бесконечно малыми одного и того же порядка.

3. Если β(X) – бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с α(X) при то

Таблица эквивалентных б.м. функций при 

9. Асимптоты

Аси́мпто́та прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой 

стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность.

Прямая   называется вертикальной асимптотой графика функции  , если хотя бы одно из предельных значений   или   равно   или   .

Замечание. Прямая   не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке   . Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.

Прямая   называется горизонтальной асимптотой графика функции  , если хотя бы одно из предельных значений   или   равно   .

Замечание. График функции может иметь только правую горизонтальную асимптоту или только левую.

Прямая   называется наклонной асимптотой графика функции  , если

10. Непрерывность функции. Свойства функции не прерывной на отрезке.

Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется непрерывной в этой области.

Функция   называется непрерывной справа в точке  , если   .

Функция   называется непрерывной слева в точке  , если   .

Функция   называется непрерывной в интервале  , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция   называется непрерывной на отрезке  , если она является непрерывной в интервале  , непрерывной справа в точке  , то есть   и непрерывной слева в точке  , то есть   .