6. 2 Замечательный предел и его следствия

Теорема 2:

Выбирая     за новую переменную, получим другую форму теоремы 2:

Отметим, что при  x → 0  функция     представляет собой неопределенное выражение вида   . При этом показателем степени является обратная величина бесконечно малой добавки к единице в основании степени.       Если     – бесконечно малая функция при  x → a, то В частности ,  

      Обсудим процедуру вычисления пределов вида

где    и     при  x → a.

1. Сначала представим функцию  f(x)  в виде суммы единицы и бесконечно малой величины α(x)=f(x)-1 :

2. Затем преобразуем показатель степени   :

3. Учитывая, что     при  x → a, получим следующий результат:

      Таким образом, проблема раскрытия неопределенности вида     сводится к более простой проблеме раскрытия неопределенности вида   .        Проиллюстрируем вышеизложенное простейшим примером:

   Еще один способ вычисления пределов вида

где     и     – бесконечно малые функции при  x → a, основывается на использовании тождества

При этом

 

7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

 Функция  f(x)  называется бесконечно малой при , если ее значения по абсолютной величине становятся и остаются меньше любого наперед заданного положительного числа  ε.        Приведенное определение полезно для формирования начального представления. В строгой математической формулировке все утверждения должны быть выражены в виде конкретных количественных соотношений. Например, фраза "значения функции становятся и остаются по абсолютной величине меньше любого наперед заданного числа" на математическом языке означает:   вне зависимости от того, насколько малым выбрано число  ε > 0. Задавая  ε, мы определяем допустимое отклонение функции от нуля. Другими словами, мы готовы считать функцию как бы равной нулю, если ее значения по абсолютной величине не превосходят  ε.        Граничные значения  –ε  и  ε  определяют соответствующий интервал   значений независимой переменной  x  в окрестности предельной точки  a. Если перейти к симметричной  δ-окрестности точки  a, определяемой условием

(1)

где   , то неравенство     влечет за собой неравенство

(2)

и, следовательно, неравенство

(3)

  Рис. 1. Для всех значений переменной  x  в интервале     соответствующие значения функции     отличаются от нуля не более чем на  ε.   Таким образом, функция     называется бесконечно малой при   , если для любого произвольно малого числа  ε > 0  существует такое число  δ(ε), что для всех  x, удовлетворяющих условию (1), выполняется неравенство (3). Это утверждение записывается с помощью выражения

или в виде

Бесконечно большая — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

Свойства эквивалентных бесконечно больших функций.

1. Если f(x) и g(x) – эквивалентные бесконечно большие функции при  x → a, то их разность имеет меньший порядок роста.  Действительно,

2. Если f(x) и g(x)  – бесконечно большие функции одного и того же порядка при  x → a, то f(x)  и     являются эквивалентными бесконечно большими функциями:

Иначе говоря, бесконечно большие функции   и   асимптотически пропорциональны при  x → a.

3. Если бесконечно малая g(x) имеет меньший порядок роста по сравнению с f(x) при  x → a, то

   

В таких случаях говорят, что g(x) – пренебрежимо малая величина по сравнению с f(x).