Тогда: , т. Е. . Теорема означает, что в неравенстве можно переходить к пределам, сохраняя знак неравенства.

Доказательство: (от противного) Предположим, что 

Выделим вокруг точек α и b столь малые E – окрестности, чтобы они не пересекались. По определению предела, начиная с некоторого номера n, переменные  Х_n и Y_n  попадут в свои E– окрестности предельных точек.

Это означает, что , начиная с некоторого номера n, что противоречит условию. Противоречие доказывает теорему, ч. т. д.

ТЕОРЕМА №3: (о стабилизации знака неравенства.). Пусть предел    и , тогда, начиная с некоторого номера n, переменная   Доказательство: Выберем столь малую E – окрестность точки α, чтобы она целиком располагалась правее p_. По определению предела, начиная с некоторого номера n, переменная  Х_n попадает в E – окрестность точки α_. Но это и означает, что для этих n:  

Теорема №4: (арифметические операции над переменными, имеющими предел). Пусть существуют пределы: и , тогда существуют пределы переменных: 1. 2. 3.

1.  2.  3.

Доказательство: Доказываем второй случай, остальные доказываются аналогично. 2 случай: ,  . По Лемме №1 о бесконечно малых выполняется:

 – сумма трех переменных.

Переменная   представилась в виде суммы: постоянной   и бесконечно малой Y_n, это и означает, что постоянная   и есть предел этой переменной. ,

ТЕОРЕМА №5: (об ограниченности переменной, имеющей конечный предел).

Пусть переменная имеет конечный предел α, тогда эта переменная является ограниченной переменной, что означает, что при всех n имеет место неравенство , где m и m – некоторые постоянные числа.

Доказательство: Возьмем производную  , по определению предела существует такой номер N,что при   следует выполнение неравенства:  

Значение переменной, которые могут не удовлетворять неравенство (*) лишь конечное число:  

Рассмотрим множество чисел:  выберем из них самое большое и обозначим L, тогда при всех   выполняется: ТЕОРЕМА №6: (о сжатой переменной). Пусть, начиная с некоторого n, выполняются неравенства , причем крайние переменные имеют одинаковый конечный предел α, тогда переменная   также имеет предел, причем тот же самый.

Доказательство: Возьмём любое E>0, по определению предела начиная с некоторого номера n будут выполняться неравенства: и

В силу неравенств выполняется неравенство

Это и означает, что переменная   имеет пределом α , ч. т. д.

Виды неопределенностей

1. Выделение общего множителя (для неопределенности ).

2. Умножение на сопряженное выражение (для неопределенности ).

3. Выделение главной части (для неопределенности ).

5. 1 Замечательный предел и его следствия.

Теорема 1:

Другая формулировка теоремы 1:

Доказательство. Заметим, что отношение     представляет собой четную функцию. Поэтому при анализе поведения этой функции можно ограничиться областью малых положительных значений аргумента  x.        Пусть  x  – центральный угол окружности единичного радиуса, выраженный в радианах. Сравним между собой площади фигур, показанных на рисунке 1.

Рис.1. Равнобедренный треугольник AOB, круговой сектор AOB и прямоугольный треугольник AOC.      Очевидно, что для всех     выполняется неравенство

 Представим  tg x  в виде отношения  sin x  к  cos x  и разделим обе части этого двойного неравенства на  sin x. Тогда неравенство

влечет за собой

      Поскольку     при  x → 0, то и   .  Чаще всего рассматривают следующие следствия из первого замечательного предела: