31. Функция Гаусса. Ее основные свойства и графики.

Нормальным называется такое распределение случайной величины X, плотность вероятности которого описывается функцией Гаусса:

где       – среднее квадратичное отклонение; M_x – математическое ожидание случайной величины.

Свойства функции Гаусса

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой Гаусса.

Проведем исследование функции:

методами дифференциального исчисления.

Очевидно, что функция определена на всей оси х.

При всех значениях х функция принимает положительные значения, т.е. нормальная кривая расположена над осью ОХ.

Ось ОХ служит горизонтальной асимптотой графика, поскольку . Других асимптот у графика нет.

При х=М_х функция имеет максимум, равный  .

Функция четная: ее график симметричен относительно прямой х=М_х  .

П ри   график функции имеет точки перегиба.

Изменение величины математического ожидания, т.е. параметра M_x, ведет к сдвигу кривой вдоль оси OX без изменения ее формы. График ведет себя иначе, если изменяется среднее квадратичное отклонение (параметр  ): с возрастанием   максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, т.е. сжимается к оси OX; при убывании  нормальная кривая становится более островершинной и растягивается в положительном направлении оси Oy. Но при любых значениях параметров M_x и  , согласно условию нормировки функции плотности распределения, площадь, ограниченная нормальной кривой и осью   остается равной единице.

32. Функция Лапласа. Ее основные свойства и графики.

Функция Лапласа не выражается через элементарные функции

Для ее вычисления используются специальные таблицы или методы приближенного вычисления. Функция Ф(х) обладает следующими свойствами:

1. Ф(х)=0;

2. 

3. функция Ф(х) – нечетная, т.е. Ф(х)= – Ф(х), поэтому в таблицах обычно приводятся значения Ф(х) только для положительных х;

4. ф ункция Ф(х) – монотонно возрастающая функция (это следует из того, что  . При x>3, с точностью до тысячных можно принять Ф(х)=0,5.

33. Интеграл с переменным верхним пределом, его свойства. Функция Лапласа как пример интеграла с переменным верхним пределом. Связь функции Лапласа с функцией Гаусса.

Пусть f интегрируема на [a,b]. Тогда на [a,b]  определена функция

называемая интегралом с переменным верхним пределом.

Вероятность поражения стрелком мишени равна 0,7. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена от 65 до 80 раз.

Я подобрал наиболее реалистичный пример, а то у меня тут нашлось несколько задач, в которых стрелок делает тысячи выстрелов =)

Решение: в данной задаче речь идёт о повторных независимых испытаниях, причём их количество достаточно велико. По условию требуется найти вероятность того, что мишень будет поражена не менее 65, но и не более 80 раз, а значит, нужно использовать интегральную теорему Лапласа:  , где 

Для удобства перепишем исходные данные в столбик:  – всего выстрелов;  – минимальное число попаданий;  – максимальное число попаданий;  – вероятность попадания в мишень при каждом выстреле;  – вероятность промаха при каждом выстреле.

, следовательно, теорема Лапласа даст хорошее приближение.

Вычислим значения аргументов: Обращаю ваше внимание, что произведение npq вовсе не обязано нацело извлекаться из-под корня (как любят «подгонять» числа авторы задач) – без тени сомнения извлекаем корень и округляем результат; я привык оставлять 4 знака после запятой. А вот полученные значения   обычно округляют до 2 знаков после запятой – эта традиция идёт из таблицы значений функции Ф(х), где аргументы представлены именно в таком виде.

Используем указанную выше таблицу либо расчётный макет по терверу (пункт 5).  В качестве письменного комментария советую поставить следующую фразу: значения функции Ф(х) найдём по соответствующей таблице: – вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена от 65 до 80 раз.

34. Формула Ньютона-Лейбница.

Формула Ньютона-Лейбница - даёт соотношение между операциями взятия определенного интеграла и вычисления первообразной. Формула Ньютона-Лейбница - основная формула интегрального исчисления.

Данная формула верна для любой функции f(x), непрерывной на отрезке [а, b], F - первообразная для f(x). Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f(x) , вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F(b) – F(a).

35. Несобственный интеграл. Определение сходимости несобственного интеграла 1-го типа.

Определенный интеграл   называется несобственным интегралом, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:

• Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;

• Функция f(x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри интервала [a,b].

Если функция  y=f(x) неотрицательна на луче [a;+∞), то функция 

 возрастает на этом луче. Поэтому она имеет предел при  x→+∞ в том и только в том случае, когда ограничена. Отсюда получаем следующее утверждение:

а) Для сходимости несобственного интеграла   от неотрицательной функции y=f(x), a⩽x<+∞, необходимо и достаточно, чтобы функция

 была ограничена, т. е. чтобы нашлось такое число M, что 

 для всех x∈[a,+∞).

Непосредственно найти такое число M бывает довольно сложно, поэтому во многих случаях оказывается полезным следующее утверждение:

б) Если на луче [a,+∞) выполняется неравенство 0⩽f(x)⩽g(x) и интеграл 

 сходится, то сходится и интеграл  . В самом деле, из f(x)⩽g(x) следует, что для любого x имеем:

Но функция  возрастает, и потому ее предел при x→+∞ не меньше любого из ее значений: Y(x)⩽Y(+∞). Поэтому для всех x∈[a,+∞)

 имеем:  , где M=Y(+∞). А тогда на основании предыдущего утверждения интеграл   сходится.

Из доказанного вытекает, что если 0⩽f(x)⩽g(x) при x∈[a,+∞) и интеграл 

 расходится, то расходится и интеграл   — в противном случае в соответствии с утверждением б) интеграл  сходился бы.

36. Исследование на сходимость интеграла Графическая иллюстрация частных случаев.

Интеграл сходится при a> 1 и расходится при p ≤1.