26. Основная таблица интегралов.

27. Дополнительная таблица интегралов.

28. Метод интегрирования неопределенного интеграла-замена переменной. Уметь распознать простые виды интегралов, к которым применим этот метод, и уметь его использовать.

Суть данного метода заключается в том, что в рассмотрение вводится новая переменная интегрирования или, что тоже самое, делается подстановка. После этого заданный в условии интеграл сводится либо к табличному интегралу, либо к нему сводящемуся.

Если в неопределенном интеграле   сделать подстановку  , где функция   - функция с непрерывной первой производной, то тогда   и согласно свойству 6 неопределенного интеграла имеем, что: .

Эта формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Задание. Найти интеграл 

Решение. Сделаем замену переменной:  , далее приведем интеграл к табличному виду и решим его. В конце решения делаем обратную замену.

Ответ. 

29. Метод интегрирования неопределенного интеграла- интегрирование по частям.

Рассмотрим функции u=u(x) и v=v(x) , которые имеют непрерывные производные. Согласно свойствам дифференциалов, имеет место следующее равенство:

d(uv)=udv+vdu

Проинтегрировав левую и правую части последнего равенства, получим:

Полученное равенство перепишем в виде:

Эта формула называется формулой интегрирования по частям. С ее помощью интеграл   можно свести к нахождению интеграла  , который может быть более простым.

Формулу интегрирования по частям целесообразно применять к интегралам следующего вида:

1)    ;      ;   

Здесь   - многочлен степени n,k - некоторая константа. В данном случае в качестве функции u берется многочлен, а в качестве dv - оставшиеся сомножители. Для интегралов такого типа формула интегрирования по частям применяется n раз.

30. Определенный интеграл. Геометрический смысл определенного интеграла.

Пусть на отрезке [a,b] задана функция y = f(x). Разобьём отрезок [a,b] произвольным образом на n частей точками [x₀ , x₁], [x₁ , x₂], …, [x_i-1 , x_i], …, [x_n-1 , x_n]; длину i-го отрезка обозначим :   ; максимальную из длин отрезков обозначим  . На каждом из отрезков [x_i-1 , x_i] выберем произвольную точку   и составим сумму  .  Сумма   называется интегральной суммой. Если существует (конечный) предел последовательности интегральных сумм   при  , не зависящий ни от способа разбиения отрезка[a,b] на части [x_i-1 , x_i], ни от выбора точек  , то функция f(x) называется интегрируемой по отрезку [a,b], а этот предел называется определённым интегралом от функции f(x) по отрезку [a,b] и обозначается . Функция f(x), как и в случае неопределённого интеграла, называется подынтегральной, числа a и b - соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования.  Кратко определение иногда записывают так:  .  В этом определении предполагается, что b> a. Для других случаев примем, тоже по определению:  Если b=a, то  ; если b<a, то  

Геометрический смысл определённого интеграла. Если f(x) >0 на отрезке [a,b], то   равен площади криволинейной трапеции ABCD, ограниченной снизу отрезком [a,b], слева и справа - прямыми x = a и x = b, сверху – функцией y = f(x).