1. Предел функции в точке.

Определение предела функции в точке по Коши. Число b называется пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к а (или в точке а), если для любого положительного числа e существует такое положительное число d, что при всех х ≠ а, таких, что |x – a | < d, выполняется неравенство | f(x) – a | < e .

Определение предела функции в точке по Гейне. Число b называется пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к а (или в точке а), если для любой последовательности {x_n}, сходящейся к а (стремящейся к а, имеющей пределом число а), причем ни при каком значении n х_n ≠ а, последовательность {y_n = f(x_n)} сходится к b.

Определения предела функции в точке по Коши и по Гейне эквивалентны: если число b служит пределом по одному из них, то это верно и по второму.Указанный предел обозначается так:

Геометрически существование предела функции в точке по Коши означает, что для любого числа e > 0 можно указать на координатной плоскости такой прямоугольник с основанием 2d > 0, высотой 2e и центром в точке (а; b), что все точки графика данной функции на интервале (а– d; а + d), за исключением, быть может, точки М(а; f(а)), лежат в этом прямоугольнике – см. рис.:

2. Предел функции на бесконечности.

Пусть задана функция у = f(x) с неограниченной сверху областью определения. Число b называется пределом данной функции при х, стремящемся к плюс бесконечности, если для любого числа существует такое положительное число М, что при всех значениях аргумента х из области определения, таких, что x > M, выполняется неравенство |f(x) – b| < e. Запись этого факта:

Если область определения данной функции неограниченна снизу, то число b называется пределом данной функции при х, стремящемся к минус бесконечности, если для любого числа e < 0 существует такое положительное число М, что при всех значениях аргумента х из области определения, таких, что x < –M, выполняется неравенство |f(x) – b| < e. Записывается это так:

3. Односторонние пределы.

Односторонний предел — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левым и правым пределами.

Число   называется правым пределом функции   в точке  , если для     

такое, что для любого   и  , выполняется неравенство

   (рис. 1). Правый предел обозначается 

Число   называется левым пределом функции   в точке  , если для     

такое, что для любого   и  , выполняется неравенство   

(рис. 2). Левый предел обозначается 

Левый и правый пределы функции называются односторонними пределами.

Теорема: Если существуют   и  , причем  , то существует и  . Обратное утверждение также верно.

В случае, если  , то предел   не существует.

4. Теоремы о пределах. Виды неопределённостей.

ТЕОРЕМА №1: (о единственности предела) Если переменная Х_n имеет предел, то этот предел единственный. Доказательство: От противного: Предположим, что  Х_n имеет α различных пределов.

 По лемме №1 о б.м. имеют места 2 равенства:

Вычтем почленно из одного неравенства другое:

Это равенство противоречиво, т.к. слева постоянное число неравное нулю, а справа, стремящаяся к нулю. Постоянное число не может стремиться к нулю. Противоречие доказывает теорему.

ТЕОРЕМА №2: (о предельном переходе в неравенстве.).Пусть при всех n выполняется неравенство  ,и переменные   и имеют пределы:

;