50 Раскройте смысл формулы Тейлора

Предположим, что функция имеет все производные до (n+1)-го порядка включительно в некотором промежутке, содержащем точку х = а. Найдем многочлен у = Р_n(х) степени не выше n, значение которого в точке х = а равняется значению функции f(x) в этой точке, а значения его производных до n-ого порядка в точке х = а равняются значениям соответствующих производных от функции f(x) в этой точке P_n (a) = f(a), =

= P_n⁽ⁿ⁾ (a) = f ⁽ⁿ⁾ (a).

Естественно ожидать, что такой многочлен в некотором смысле «близок» к функции f(x). Формула: f(x) = f(x₀) + (x-x₀) + (x-x₀)² +…+ (x-x₀)ⁿ + R_n(x) (остаточный член)

51 Дайте определение асимптот графика функций. Опишите методы нахождения вертикальных и наклонных асимптот

Асимптоты графика функций называется прямая, к которой неограниченно приближается бесконечно, уходящая в бесконечность ветвь графика функции

Вертикальные асимптоты. Из определения асимптоты следует, что если , или , или , то прямая x=a есть асимптота кривой ; и обратно, если прямая х=а есть асимптота, то выполняется одно из написанных равенств. Для отыскания вертикальных асимптот нужно найти такие значения x = a, при приближении к которым функция стремится к бесконечности. Тогда прямая х=а будет вертикальной асимптотой.

Наклонные асимптоты.Пусть кривая имеет наклонную асимптоту, уравнение которой имеет вид y = kx + b. k= (1)

b= (2)

Если хотя бы один из пределов (1) или (2) не существует, то кривая асимптоты не имеет.