43 Сформулируйте и докажите теорему Коши.
Если f(x), g(x) принадлежат отрезку АБ, непрерывна, дифференцируема в интервале АБ и g(x)=/0, то существует точка С, A<C<B, для которой справедливо равенство f(b)-f(a)/g(b)-g(a)=f!(x)/g!(x)
Доказательство.
q(x) =f(x) + λ g(x)
q
(x)
непрерывна на [a,
b]
как сумма двух непрерывных функций.
Дифференцируема на (a,
b).
Как сумма двух дифференцируемых функций.
Подберем
λ
,по
q(a) = q(b)
f
(a) + λ
g(a) = f (b) + λ
g (b)
λ
= 
Предположим,
что g(a)
= g(b),
тогда g(x)
удовлетворяет всем условиям теоремы
Ролля, тогда ∃с
, a<c<b,
= 0, а g’(x)по
условию теор.
0, следовательноg(a)
g(b).
Функция q(x)
удовлетворяет всем условиям теоремы
Ролля, по которой существует т. с, где
a<c<b,
такая, что
=
0 Найдем
= 
+λ
,
+ λ
= 0,
Подставляя, получим:
44 Сформулируйте и докажите теорему Лопиталя
теорема для неопредел.
вида 0/0
и 
)
пусть даны 2-е функции, которые определены в некоторой окрестности х0 для которой выполняется следующие равенства
1 limxàx0f(x)=limxàx0g(x)=0
2 f(x);g(x) дифференцируемы в окрестности х0; g!(x)=/0
3 limxàx0f!(x)/g!(x)=k è limxàx0f(x)/g(x)=k
Доказательство:
Положим, f(x0) = g(x0) = 0.
Рассмотрим [x0,
x0+
x]
Т.о. f(x) и g(x) непрерывны на [x0, x0+ x], дифференцируемы на (x0, x0+ x),
,
следовательно, удовлетворяет теореме
Коши ∃с,
С, x0,
x0+
x,
справедливо равенство:
,x0+
x=x
45 Сформулируйте и докажите достаточное условие возрастания(убывания) функции в промежутке
если функция дифференцируема в интервале и f!(x)>0, f!(x)<=0, то функция возрастает или убывает
Доказательство:
Пусть для определенности
Необх.
доказать
х1
х2
x
а х1 х2b
Т.к. функция дифф-ема
на интервале(а;b|),
то она неперывна на отрезке, след-ноf(x)
С [x1;
x2],
дифф-ема на [x1;
x2].
След-но f(x)
на отрезке [x1;
x2]
удовлетворяет всем условиям теоремы
Лагранжа.
= 
,
0
46 Дайте определение максимума и минимума в точке. Сформулируйте и докажите необходимое условие экстремума.
Функция имеет в точке х0 максимум(минимум), если существует некоторая окрестность в точке х0, в которой выполняется неравенство f(x)<f(x0) (f(x)>f(x0))
Опр. максимума. Функция f(x) в точке х1 имеет максимум, если значение функции f(x) в точке x1больше, чем ее значения во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х1. Иначе говоря, функция имеет максимум при х=х1, если f(x1+ x) <f(x1) при любых (полож и отриц), достаточно малых по абсолютной величине.
Опр. минимума. Функция f(x) имеет минимум при x=x2, если f(x2+ x) <f(x2) при любых (как полож, так и отриц), достаточно малых по абсолютной величине.
Теорема.(необход. усл. сущес. экстремума)
Если дифференцируемая
функция y=f(x)
имеет в точке х=х1
максимум или минимум, то ее производная
обращается в нуль в этой точке, т.е.
(x1)
= 0.
Док-во
f(x)
имеет экстремум в точке х0
и 
)
= 0
Пусть для определенности функция в точке х0 имеет max
(x0,
),
f(x)
<f(x0)
(x0)
= 
=
=
=0
Определение:
= 0 или
не
существует - это критические точки.
Точки,
в которых 
- стационарные точки.
Необходимое условие экстремума не является достаточным. Это означает, что в т. х0=0 или не существует, а экстремума в этой точке функция не имеет.
47 Сформулируйте и докажите первое достаточное условие экстремума
Пусть функция в критической точке х0 непрерывна, если при переходе через критическую точку меняет знак, то функция имеет экстремумы, с+ на- максимум, с- на + минимум
Док-во
Т.к. х0
– стационар. т. 
x0)=0
Пусть
для определенности 
x0)<0
x0) = =< 0
>0
X0=max
48 Сформулируйте и докажите второе достаточное условие экстремума
Если в стационарной точке х0 f!!(x0)=/0, то в точке х0 функция имеет экстремум, если f!!(x0)<0 x0—max; f!!(x0)>0 x0—min
Док-во.
Т.к. х0 – стационар. т. x0)=0 Пусть для определенности x0)>0
x0) ==> 0
<0
X0=min
49 Определите выпуклость (вогнутость) графика функции. Определите точки перегиба. Сформулируйте и докажите достаточное условие выпуклости (вогнутости) функции в промежутке. Сформулируйте достаточное условие точки перегиба.
график функции называется выпуклым(вогнутым) в точке х0 если существует некоторая окрестность в точке х0 в которой касательная проведенная к графику в точке х0 лежит над графиком (под графиком) функции
Точка, определяющая выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой, называется точкой перегиба кривой
Условие выпуклости(вогнутости) если f!!(x0)<0 (f!!(x0)>0), то график функции в точке х0 выпуклый(вогнутый)
Достаточное условие выпуклости(вогнутости): если f”(x0) <0, f”(x0) > 0, то график функции в т. х0 выпуклый (вогнутый).
Доказательство:
Пусть для определенности f”(x0) <0, f’(x0) cуществ. y = y0 + f’(x0)(x-x0)
q(x) = f’(x) - y0 - f’(x0)(x-x0)
q(x0) = 0 , q’(x)= f’(x)- f’(x0) => q’(x0)=0
q”(x) = f”(x),=> f”(x)<0 => q”(x0) <0 , x0 – точка max для q(x)
q(x)(<)или(=) q(x0) , x≠х0
f(x) - y0 - f’(x0)(x-x0)<0
f(x) <y0 - f’(x0)(x-x0)
=> f(x0) выпуклая
Условие перегиба. Пусть функция непрерывна в точке х0 и f!!(x) при переходе через х0 меняет знак, то х0 является точка перегиба.