34 Сформулируйте правило нахождения производной неявной функции.

Чтобы найти производную неявно заданной функции, необходимо продифференцировать обе части равенства   по аргументу x, считая y – функцией от x, и после этого выразить  .

Дифференцирование выражений, содержащих x и y(x), проводится с использованием правил дифференцирования и правила нахождения производной сложной функции. 

Пусть x и y связаны между собой уравнением F(x,y) = 0

Еслифункция y = f(x), опеределенная на некотором интервале (a,b), такова, что уравнение при подстановке в него вместо у выражения f(x) обращается в тождество относительно x, то функция y=f(x) есть неявная.

Например(шоб понятно было): уравнение x²+y²-a²=0 неявно определяет функции y = и y= . Эти две функции явные. Если подставить в начальное уравнение выведенный у, то все обращается в тождество 0=0. Наши выражения получились путем решения уравнения относительно у.

Теперь производная. Пусть y есть функция от х. Дифференцируем обе части равенства по х, считая, что у есть функция от х.

Тогда: 2х+2уу’ = 0. Собственно: у’ =

Если начнем дифференцировать наши явные функции y = , то получаем у’= =

35 Дайте определения касательной и нормали к кривой в точке . Выведите уравнения касательной и нормали к кривой в точке

Касательной к кривой в точке х0 называется прямая, которая проходит через точку М0(х0,у0) и является предельным положением секущей М0М при условии что MàM0

Нормалью к кривой в точке х0 называется прямая проходящая через точку М0(х0,у0) перпендикулярна к касательной в точке М0

Уравнение касательной у-у0=у^!(х0)*(х-х0)

Нормали у-у0= -1/у^!*(х-х0)

k₁*k₂= -1 – условие перпендикулярности прямых

36 Определите дифференциал функции и выведите формулу вычисления дифференциала

Дифференциал дифференцируемой функции называется главная часть превращения функции линейно относительно дельта(х)

y = f(x), Δy = f'(x)Δx + α(Δx)

α(Δx) = (Δx) при Δх 0 (типа α зависит от Δх, а еще она пиздец какая маленькая. Этим и отличается от производной, что у дифференциала есть эта альфа пиздец какая маленькая, которая стремится к 0, когда и Δх стремится к 0)

dy=f’(x)Δх

y=x, dx=1*Δх, Δх=dx

dy=f’(x)dx ------------- формула для вычисления дифференциала

37 Определите производные высших порядков. Охарактеризуйте механический смысл производной второго порядка

Производной n-го порядка от функции f(x) называется производная (первого порядка) от производной (n-1) порядка и обозначается символом y^(n) или ( f^(n))*(x)

Y^n=( f^(n))*(x)

Производные 4,5 и высших порядков обозначается так же с помощью римских цифр: y^IV; y^V; y^VI….

Механический смысл 2 производной: вторая производная от пути по времени есть величина ускорения прямолинейного движения точки, то.е. S’’(t)=a(ускорение)

38 Докажите инвариантность дифференциала первого порядка

Форма дифференциала не изменяется если рассматривать сложную функцию

y=f(q(х)) , y=f(u); u=q(x).

dy = f _u’(u) ∙ u’_xdx = f _u’(u)dy

39. Раскройте геометрический смысл дифференциала первого порядка.

дифференциал функции численно равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции   в данной точке, когда аргумент _х получает приращение  .

∆y = f’(x – x₀) - f’(x₀)

dy = f’(x₀) ∆x

40 Раскройте сущность применение дифференциала к приближенным вычислениям. Приведите пример

y = f’(x) – диффиренцируема в т. x₀

т. к. функция дифференцируема в точке х

∆y = f’(x₀) ∆x+ а(∆x), а(∆x)= (∆x), ∆x=0

∆y = f’(x₀) ∆x

∆x = x – x₀

Тогда х = х₀ + ∆x

∆y = f’(x₀) + ∆x – у(х₀)

у(х) = у(х₀) + ∆x – у(х₀)

у(х) – у(х₀) ≈ у’(х₀) (x – x₀)

у(х₀) ≈ у(х₀) + f’(х₀) ∆x

ПРИМЕР: Вычислим приближённое значение sin 00,1.

у = sin х

х₀=0, ∆x = 00,1, х = х₀ + ∆x =00,1

sin0 = 0

у’= cos x у’(0) = 1 sin 00,1= 00,1

41 Определите дифференциалы высших порядков. Докажите формулу вычисления дифференциала второго и n-ого порядка

Дифференциалом n-го порядка называется первый дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка

42. Сформулируйте и докажите теоремы Ролля, Лагранжа.

Ролло если функция непрерывна на отрезке АБ дифференцируема в интервале и на концах отрезка принимает равные значения, то существует точка С, А<C<B, в которой производная =0

1 случай. М=м. Тогда f(x)=const. Тогда f’(x)=0.

2 случай. М ≠ м, тогда либо м либо М достигается внутри (А,В).

Пусть для определенности f(x) внутри (А,Б) достигает наибольшее значение в некоторой точке С. f(c)=M

Докажем что f’(c)=0 т. е. даем приращение ∆х , с +∆х

∆y = y’(с – ∆x) - у(с)

f’(с) = lim_∆х→0∆y/∆x = lim_∆х→0 y’(с – ∆x) - у(с)/ ∆x = lim_∆х→0- y’(с – ∆x) - у(с)/ ∆x = lim_∆х→0+ y’(с – ∆x) - у(с)/ ∆x = 0

Лагранже если функция непрерывна на отрезке АБ, дифференцируема в интервале, то существует точка С,A<C<B, такая, что справедливо равенство f(b)-f(a)=f^!(a)*(b-a)

Рассмотрим вспомогательную функцию g(x) λ-const.

g(x) = f(x) + λx

g(x) непрерывна на (а;b) как сумма двух непрерывных функций и дифференцируема в интервале (а;b) как сумма двух непрерывных функций.

λ выберем так чтобы выполнялось:

g(а) = f(а) + λа

g(b) = f(b) + λb

f(а) + λа = f(b) + λb

λ= f(а) -f(b) / а-b т. е.при этом λ функция g(х) удовлетворяет всем условиям теоремы роля по которой существует т. с, такая, что: b>c>a

в которой

g’(х) = 0

g’(х) = f’(x) +a ; g’(c) = f’(c) +a = 0 ;

g’(х) = - λ = f’(c)= f(а) -f(b) / а-b

f(а) -f(b) = f’(c) (а-b)