Теория

1 Дайте определение функции. Сформулируйте способы задания функции. Перечислите основные элементарные функции, изобразите на чертеже графики этих функций

Говорят, что на множестве X задана функция f(x) если для любых x принадлежащих X по вполне определенному закону ставится в соответствии единственное y из Y.

аналитический (с помощью формул и станд. значений), графический (с помощью графика), табличный.

Основные элементарные функции: степенная у=хⁿ, показательная у=а^х, а>0, логарифмическая у=log_ax, а>0; тригонометр. ф-ии y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx, y=secx, y=cosecx; обратные тригоном. ф-ии y=arcsinx, y=arccosx, y =arctgx, y=arcctgx.

2. Определите сложную функцию, взаимообратные функции, элементарную функцию

Функция вида y=f(u(x)) – сложная функция.

Функция {\displaystyle g:Y\to X}  является обратной к функции {\displaystyle f:X\to Y} , если выполнены следующие тождества:

{\displaystyle f(g(y))=y}f(g(y))=y для всех {\displaystyle y\in Y;}{\displaystyle g(f(x))=x}y принадл. Y

g(f(x))=x для всех {\displaystyle y\in Y;}{\displaystyle g(f(x))=x}x принадл. X

элементарная функция – называется функция которая получается из основной элементарной функции с помощью конечного числа арифметических операций и конечного числа положения функциональной зависимости.

3. Определите предел последовательности. Раскройте геометрический смысл предела.

Число А называется пределом последовательности если для любых Е>0 существ. N такое что для каждого n>0 выполняется модуль a_n-A<E

Смысл lim_nàбескa_n=A

Модуль a_n-A<E

-E<a_n-A<E

A-E<a_n<E+A

4 Определите предел функции в точке и на бесконечности. Раскройте геометрический смысл предела

Число называется пределом функции в точке x0 если для каждого E>0, существует б>0 такое что для каждого x пренадл. u⁰(x0,б) выполняется неравенство: |f(x) - A|<E, A-E<f(x)<A+E, u⁰(x0,б)={0-|x-x0|<б}

Смысл |x-x0|<б, x0-б<x<x0+б

Lim_xàx0x=x0

|x-x0|<E

|x-x0|<б б=E x пренадл. U⁰(x0,б) б=E

Предел функции на бесконечности

Число А назыв. Пределом функции при xà+беск. если для каждого E>0, существует B такое что для каждого x>0 |f(x)-A|<E, А предел

Lim_{xà+беск.}f(x)=A x>0 |f(x)-A|<E

А назыв. Пределом при xà-беск. если для каждого E>0, сущ. B такое что для каждого x<B |f(x)-A|<E

Lim_{xà-беск.}f(x)=A

А предел ф. при xàбеск. если для каждого E>0 сущ. B>0 такое что для каждого x, |x|>B |f(x)-A|<E

5. Сформулируйте и докажите первый замечательный предел.

Предел отношения синуса к его аргументу равен единице в случае, когда аргумент равен нулю

Lim_xà0sinx/x=1

Доказательство:

0< x< π/2

S_OAB < Š _OAB < S_∆OAC

Š- площадь сектора.

1/2 sin x < 1/2 x < 1/2 tg x |: 1/2 sin x

1 < x/ sin x < 1/cos x

1 > sin x/x > cos x

0 > 1- sin x/x > 1- cos x

0 > 1- sin x/x > x²

lim 1- sin x = 0 => lim 1- sin x = 1

х →0 x х →0 x

Следствия

6 Сформулируйте второй замечательный предел. Приведите пример

Второй замечательный предел: Используется для раскрытия неопределенности типа 1^∞

Пример: lim ( 1+ 2x)^1/x = lim ( 1+2x)^2/(2x) = lim [ ( 1+2x)^2/(2x) ]² =[lim (1+2x)^2/(2x) ]²=

х →0 х →0 х →0 х →0

=e²

7 Сформулируйте признаки существования предела

Т1: если переменная величина не убывает(не возрастает) и ограничена сверху(снизу), то она имеет предел

Т2: если переменная величина запечатана между 2-мя другими переменными величинами, которые имеют один и тот же предел, то и данная величина имеет предел

Пусть u(x)<=f(x)<= v(x)

Lim_xàx0u(x)=lim_xàx0v(x)=A то lim_xàx0f(x)=A

8 Определите бесконечно малые величины. Сравните бесконечно малые величины.

Бмв называется величина предел, которого = 0

Альфа(x) бмв. Если lim_xàx0альфа(x)=0

Lim_xàx0c=c |c-c0 |=0<E

0<б-любое

|x-x0 |<б

Lim_xàx0x=x0 x-бмв. При xà0

Lim_xàx0x=0

Бмв альфа(х) называется бм более высокого порядка в бм бета(х) при хàx0 lim_xàx0альфа(х)/бета(х)=0

9 Сформулируйте и докажите теоремы о бесконечно малых величинах.

Т1 сумма конечного числа бмв есть бмв

Дано: А(х) и В(х) – б.м.в., х→х₀

Док-ть: А(х) + В(х) – б.м.в., х→х₀

Док-во: lim_x→x0A(x)=0, ∀ Е>0 Ǝ δ₁>0 : ∀ х ∈ { 0<| x-x₀|< δ₁} |В(х-0)|<E, | В(х)|<E

δ=min{ δ₁; δ₂ }

0<| x-x₀|< δ

| А(х) + В(х) - 0 | = | А(х) + В(х) |  ≤ | А(х) + В(х) |  < 2E=E

lim_x→x0(А(х) + В(х))=0 (теорема доказана).

Т2 произведение бмв на ограничении есть бмв.

Дано: А(х)– б.м.в., х→х₀

В(х) – ограниченная величина, т.е. это ограниченная величина в некоторой окрестности т.х₀ U(х₀; δ₁)

Значит, что Ǝ М, 0<M< ∞ : ∀ х, | x-x₀|< δ₁ , |В(х)| ≤ М

lim_x→x0А(х)=0

∀ Е>0 Ǝ δ>0 : ∀ х, 0<| x-x₀|< δ₂ | А(х)-0|<E

Через дельта обозначим минимальное

δ=min{ δ₁; δ₂ }

0<| x-x₀|< δ

| А(х) * В(х) - 0 | = | А(х) * В(х) | < E*M=E₁

∀ Е>0 Ǝ δ>0 : 0<| x-x₀|< δ, | А(х) * В(х) - 0 | < E₁

lim_x→x0А(х) * В(х)=0 => _x0А(х) * В(х) – б.м.в. при х→х₀ (теорема доказана).

10 Сформулируйте и докажите теорему о связи функции, предела и бесконечно малой величины

Для того чтобы А являлась пределом функции при хàх0 необходимо и достаточно {f(x)-A} бмв при хàx0

Необходимость

Дано lim_xàx0f(x)=A

Доказать {f(x)-A}-бмв

Lim_xàx0{f(x)-A}=0

E>0 существует б>0 такое что для каждого x0<|x-x0|<б

|f(x)-A|<E

|{f(x)-A}-0|<E

Lim_xàx0f(x)-A=0_xà

Достаточность

доказать lim_xàx0f(x)=A

Дано {f(x)-A}-бмв

Lim_xàx0{f(x)-A}=0

Для каждого Е>0 существует б>0 такое что для каждого х0<|x-x0|<б

|{f(x)-A}-0|<Е èсл. |f(x)-A|<E è lim_xàx0f(x)=A

11 Сформулируйте и докажите теорему о единственности предела.

Если f(x) имеет предел то он 1

Док lim_xàx0f(x)=A; lim_xàx0f(x)=B

{f(x)-A}бмв

{f(x)-B}бмв

B-A=({B-f(x)}_бмв+{f(x)-a}_бмв)_бмв è B-A=0 è B=A

12 Сформулируйте и докажите теоремы о пределах суммы, произведения.

Т1 Предел суммы конечных числа слагаемых = сумме пределов, если предел слагаемых существует.

Дано: lim_х→х0f(x)=A; lim_х→х0g(x)=B

Док-ть: lim_х→х0(f(x) + g(x))=A+В

Док-во: {f(x) + g(x)} – (A+B)={f(x) – A}+{g(x) – B}

б.м.в.+ б.м.в. = б.м.в. (теорема доказана).

Лемма: если f(x) в точке х0 имеет предел, то она ограничена в некоторой окрестности в точке х0

Т2 произведение конечных числа сомножителем = произведению пределов, если предел и сомножители существуют

Дано: lim_х→х0f(x)=A; lim_х→х0g(x)=B

Док-ть: lim_х→х0(f(x) * g(x))=A*В

Док-во: f(x)*g(x) – A*B=f(x)*g(x) – f(x)*B + f(x)*B – A*B=f(x)*(g(x) – B) + B*(f(x) – A) б.м.в.+ б.м.в. = б.м.в. (теорема доказана).

Следствие: постоянный множителей можно вынести за знак предела

13 Сформулируйте и докажите теорему о пределе частного.

Предел частного = частному пределов, если предел числителя и знаменателя существуют, знаменатель отличен от 0.

Д-во:

14 Сформулируйте и докажите теоремы об эквивалентных бесконечно малых величинах.

Т1: если альфа(х) эквивалентен бета(х), то бета(х) эквивалентен альфа(х)

Д-во:

,

Т2 если альфа(х) эквивалентен бета(х), бета(х) эквивалентен гамма(х), то альфа(х) эквивалентен гамма(х), хàх0

Д-во:

15 Определите бесконечно большие величины и раскройте их связь с бесконечно малыми величинами.

Переменная величина бета(х) называется ббв. Если для каждого М при хàх0, 0<M<беск существует u⁰(x.б) для каждого х принадлежащего u⁰(x0,б), выполняет |f(x) |>M

Связь

Т1 Если бета(х) при xàx0 ббв то альфа(х)=1/бета(х) – бмв. При хàx0

Т2 если альфа(х) при xàx0 бмв и принадлежит u⁰(x0;б) =0, то 1/альфа(х) есть ббв. При xàx0.

16 Сформулируйте различные определения непрерывности функции в точке и покажите их эквивалентность.

Т1: функция называется непрерывной в точке х0, если предел функции в точке х0 = значению функции в точке х0 lim_xàx0f(x)=f(x0)

Т2 функция называется непрерывной в точке х0 если для каждого Е>0 существует б>0 такое что х принадлежащий u⁰(x0;б). |f(x)-f(x0) |<E

Т3 функция называется непрерывной в точке х0, если бесконечно малое превращение дельта(х) соответствует бесконечно малому превращению дельта(у). |дельта(х) |<бè дельта(у)<E

Т4 функция называется непрерывной в точке х0 если lim_xàx0f(x)=f(lim_xàx0x)

17 Сформулируйте и докажите теорему о непрерывности суммы.

Сумма конечного числа в непрерывной функции есть функция непрерывная.

Дано:

Д-ть: непрерывна

Д-во:

18 Сформулируйте и докажите теорему о непрерывности произведения.

Произведения конечного числа в непрерывной функции есть функция непрерывная

Дано:

Д-ть: непрерывна

Д-во:

19. Сформулируйте и докажите теорему о непрерывности частного.

Частное 2-х непрерывных функций есть функция непрерывная, если знаменатель отличен от 0

Док-во. Пусть 2 функции непрерывны в т. , . Доказать : – непрерывны. ,

20 Сформулируйте и докажите теорему о непрерывности сложной функции

Если фи(х) непрерывна в точке х0, и f(фи) непрерывна в точке фи0, то сложная функция f[фи(х)] непрерывна в точке х0

Док-во. ,

21. Сформулируйте и докажите теорему о непрерывности обратной функции.

Ели возрастающая/убывающая функция непрерывна на отрезке [ ], причем , то обратная функция ( ) определена и непрерывна на отрезке [ ].

Док-во. Пусть возрастает. Пусть и . Пусть , т.е. – внутренняя точка отрезка , тогда в силу возрастания функции , и . Зафиксируем некоторое , . Пусть . Тогда из условия , в силу возрастания , следует, что . Возьмем так, чтобы

22Сформулируйте и докажите теорему о непрерывности элементарной функции.

Основные элементарные функции непрерывны в области своего существования

П ример. , -¥<x<1 непрерывна в интервале f(x)= 4, терпит разрыв , x>1 непрерывна

23 Классифицируйте точки разрыва. Приведите примеры.

1. т. устранимого разрыва

,

– т. устранимого разрыва,

2. разрыв 1-го рода

Дано: ,

, – т. разрыва 1-го рода

3. разрыв 2-го рода

Дано: ,

, – т. разрыва 2-го рода.

24 Определите односторонние пределы. Сформулируйте и докажите теорему о связи односторонних пределов с пределом функции в точке.

Функция называется непрерывной слава(справа) если односторонний предел в точке х0 слева(справа) равен значению функции в точке х0

Для того чтобы f(x) была непрерывна в точке х0 необходимо и достаточно чтобы она была непрерывна в точке х0 слева и справа одновременно.

1. Необходимость. Дано: , доказать:

0<|x- |<d , = , то , , .

2. Достаточность. Дано: , доказать:

, , , , , , , , |f(x)-A|<e

25 Определите непрерывность функции в интервале и на отрезке. Сформулируйте теоремы о свойствах функции, непрерывной на отрезке.

Функция называется непрерывной в интервале (АБ) если она непрерывна в каждой точки интервала

Функция называется непрерывной на отрезке (АБ) если она непрерывна в интервале (АБ), непрерывна в точке(А) справа и в точке(Б) слева

Т1 если функция непрерывна на отрезке (AB) (f(x) принадлежит С[A;B]) то она ограничена на этом отрезке

Т2если функция непрерывна на отрезке то она на этом отрезке достигает наибольшего и наименьшего значение

Т3 если функция непрерывна на отрезке и на концах отрезка принимает значение разных знаков, то существует точка С такая что A<C<B, f(C)=0

Т1,2 не справедливы для интервала

26 Дайте определение производной. Раскройте геометрический и механический смысл производной

Производная функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее произвольным образом стремится к 0

Геометрический смысл производная функции в точке есть tg угла наклона касательной проведенной к кривой в рассматриваемой точке

Механический производная есть мгновенная скорость прямолинейного движения материальной точки

27 Сформулируйте и докажите теорему о связи между дифференцируемостью и непрерывностью функции.

Теорема: Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Дано: функция дифференцируема в точке

Доказательство: Δy = y’(x) Δx + α(Δx), α(Δx) = 0⁼ (Δx), Δx→0, Δy→0

Это значит, что бесконечно малое приращение Δx соответствует бесконечно малому приращению Δy, следовательно, функция непрерывна в этой точке.

Обратное утверждение неверно

Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке

28 Сформулируйте и докажите теорему о производной суммы.

Производная суммы конечного числа = сумме производных

Доказательство:

x, Δx, Δu, Δv

Δ(u+v) = Δu+Δv

(u+v)’= lim_Δx→0(Δ(u+v)/Δx) = lim_Δx→0((Δu+Δv)/Δx) =

= lim_Δx→0 Δu/Δx + lim_Δx→0Δv/Δx = u’ + v’

29. Сформулируйте и докажите теорему о производной произведения

Производная 2-х дифференцируемых функция = произведению производной 1-ой на 2-ую функцию + производная 2-ой на функцию 1

Доказательство:

Δ(u v) = (u + Δu) (v + Δv) – uv = uv + Δuv + uΔv + ΔuΔv – uv

(uv)’ = lim_Δx→0 (Δ(uv)/Δx) = lim_Δx→0 (Δu/Δx)v + lim_Δx→0 (Δv/Δx)u +

+ lim _Δx→0 (Δv/Δx)Δu = (lim _Δx→0 Δu/Δx)v + u lim _Δx→0 Δv/Δx +

+ lim _Δx→0Δu lim _Δx→0 Δv/Δx = u’v + uv’,

т. к. по условию функция v дифференцируема, то она непрерывна

30. Сформулируйте и докажите теорему о производной частного.

Производная частного = дроби, у которой знаменатель есть квадрат знаменателя данной дроби, а числитель есть разность между произведением знаменателя на производную числителя и произведением числителя на производную знаменателя.Если y=u/v, то y’ = (u’v – uv’)/v²

Доказательство:

Δ(u/v) = (u+Δu)/(v+Δv) – u/v = (uv + Δuv – uv – uΔv )/(v+Δv)v

(u/v)’ = lim _Δx→0 Δ(u/v)/Δx = lim_Δx→0 ((Δu/Δx)v – u(Δv/Δx)) / (v+Δv)v =

= (u’v – uv’)/v²

31 Сформулируйте и докажите теорему о производной сложной функции.

Производная сложной функции = произведению производной данной функции по промежуточному аргументу и на производную промежуточного аргумента по х

Предполагаем, что ф-я f(u) дифференцируема в точке u, а функция µ(x) в точке х.

Δy = f(u+Δu) – f(u) = Δ_uf

f(µ(x))’= = * = f’_u(u)*u’_x(x)

f(µ(x))’=f’_u(u) * u’_x

Пример: (sin(x²))’= cos(x²)*2x

32 Сформулируйте и докажите теорему о производной обратной функции.

Если для функции существует обратная функция которая в рассматриваемой точке(у) имеет производную отличную от нуля, то в соответствующей точке х функция имеет производную = 1/фи^!(у)

Функция – y=f(x). А функция x= µ(y) – ей обратная.

Возьмём х, дадим приращение Δх, возьмём у, дадим приращение Δу.

y_x’= = =

↘ x’

y_x’=

Пример: y= Обратная: x=a^y

33 Сформулируйте и докажите теорему о производной функции, заданной параметрически.

Если функция y=f(x) задана параметрическим уравнением

, t₀ ≤ t ≤ T

Где t параметр и если функции y и x дифференцируемы в точке t, то функция f(x) также дифференцируема в точке х(t) и ее производная равна y^!(x)=y^!(t)/x^!(t)

Пусть функция y от x задана параметрическими уравнениями:

, t₀ ≤ t ≤ T

Предположим, что эти функции имеют производные и что функция x = µ(t) имеет обратную t=φ(x), которая так же имеет производную. Тогда эту параметрическую функцию y=f(x) можно рассматривать, как сложную функцию y=ψ(t), где t= φ(x).

По правилу дифференцирования сложной функции получим: y’_x=y_t’t_x’= ψ_t’(t)φ_x’(x)

На осоновании о производной обратной функции: φ_x’(x) =

Подставим последнее выражение: y_x’= =