Способ2

_agsin



^C mR²

1

2mR²

^2gsin. (13)

3

Применим закон сохранения энергии. На цилиндр действует не- консервативная сила трения. Так как скорость цилиндра в точке со- прикосновения с наклонной плоскостью равна нулю, то равно нулю

перемещение точки приложения силы. Следовательно, работата-кой силы также равна нулю. Пусть тело в данный момент прошло вдоль наклонной плоскости путьX. Будем отсчитывать потенциаль- ную энергию от этого положения тела.Тогдав верхней точке полная энергия тела состоит только из потенциальной энергии

П=mgh=mgXsin. (14)

Внижней точке наклонной плоскостиуцилиндранетпотенциаль-ной энергии, но есть кинетическая энергия поступательного и вра- щательного движения относительно центра масс

mv²

T ^C

I²

. (15)

2 2

Подставляяиз (1) в (15), имеем

^mv2Iv2v2 I

T ^C^C^C(m

). (16)

2 2R²² R²

Приравнивая энергии в верхней и нижней точке, получаем

_v2

mgXsin^C(m

2

^I). (17)

_R2

Дифференцируя это равенство по времени и замечая, что^dXv

и^dvCa

,вместо(17)запишем

dt ^C

dt ^C

mg^dXsin^2vC(m

I₎^dv_C

(18)

или

dt 2

R²dt

mgvsinv(m^I)a

. (19)

^{C C} _R2 ^C

Определяя из этого уравненияa_C, получаем

C

_agsin

_1^IC

mR²

²gsin. (20)

3

Ответ:a_C

_gsin_1^IC

mR²

²gsin.

3

Основныеположения 319

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

• У_�словия_�равновесиятвердоготела

F_Fi0,

� ^i�

M_Mii

0.

• �

  Уравнен_�иядинамики твердоготела

ma_CF,

�

dL_Ц

dt

�

M_Ц.

• Если силы лежат в плоскостиXOY,то второе условие равновесия имеетвид

_Miz_Mi0,

i i

гдеM_iz–проекциямоментаi-ойвнешнейсилынаосьz,M_i=F_il–

модуль момента силы F_i, l—плечо силы.

• Момент инерции тела относительнооси

I_r²dm,

гдеr— расстояние от бесконечно малой части тела массойdmдо

оси.

• Моментинерцииматериальнойточки

I=mr²,

гдеr— расстояние от материальной точки с массойmдо оси.

• ТеоремаШтейнера

I=I_C+ma²,

гдеI,I_C— моменты инерции относительно произвольной оси и оси, проходящей через центр масс тела и параллельной первой,

a–расстояниемеждуосями,_�m–массатела.

• Проекциямоментаим_�пульсаLтвердоготеланаосьzприеговра-

щении со скоростьювокруг неподвижной оси (zнаправлена вдольоси)

L_z=I_z.

• Основное уравнение вращательного движения твердого телавокруг неподвижнойоси

I_z=M_z,

где_z=d_z/dt–проекция углового ускорения на осьz.

• Законсохранениямоментаимпульсасистемытвердыхтелприихвра- щательномдвижениивокругнеподвижнойоси

ЕслиM_z= 0, тоL_z(t) =L_z(t') или

I(t)_z(t) =I(t')_z(t'),

гдеtиt'–два момента времени,M_z— проекция суммарного мо-ментавнешни_�хсилдействующихнасистемунаосьz.

• Работа силыFнад твердым телом при еговращательномдвижении

dAI_zd_zM_zd,



A_Mzd,

0

где–угол поворота тела,M_z–проекция момента силы на ось

• Кинетическаяэнергиявращениятвердоготелавокругнеподвижнойоси

I²

T .

2

• Плоскоедвижениетвердоготеламожнопредставитькакпоступа- тельноедвижениеегоцентрамассивращательноедвижениеотно-сительно оси, проходящей через центрмасс

� ^� �

v_Аv_С[_Ц,r_А]_,

v_A

и

v_C

где ^�

• скорости произвольнойт.Атела и его центра масс

�

в инерциальной систем_�е отсчета,r_A— радиус-вектор т.Аотно-

сительно центра масс,_Ц— угловая скорость вращения относи-

тельно оси, проходящей через центр масс (в Ц-системе).

• Уравнениядинамикитвердоготелаприплоскомдвижении

�

ma_C

�

F,^I

С^Цz^MЦz^.

• Кинетическаяэнергиятвердоготелаприплоскомдвижении

mv²

Т ^С

I_С_Ц

2

.

2 2

ОБОЗНАЧЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ГЛАВЕ 5

�

 –векторугловогоперемещения

_�z –проекциявектораугловогоперемещениянаосьz

 –векторугловойскорости

_�z –проекциявектораугловойскоростинаосьz

 –векторугловогоускорения

_z –проекциявектораугловогоускорениянаосьz

I,I_C –моментинерциителаотносительнопроизвольнойосии момент инерции тела относительно оси, проходящейчерезцентрмасс

Т_пост,Т_вращ– поступательная и вращательная кинетическиеэнергии тела

А –работасилы