5.7. Плоское движение твердого тела

Плоскимдвижениемназываетсятакоедвижение,прикоторомвсе точки абсолютно твердого тела движутся параллельно одной плос- кости. Например, при качении цилиндра (колеса) по горизонталь- ной поверхности все точки движутся в плоскостиXOY,перпендику- лярной поверхности (рис. 5.7). Рассмотрим движение произвольной точкиАпри ее перемещении вместе с цилиндром из положения 1 в положение 3. Представим сложное движение любой точки цилин- дра (траектория такого дви жения называетсяциклоида) как сумму двухпростыхдвижений:поступательногодвиженияизположения1 в положение 2 относительно неподвижной системы ко ординатKивращательногодвиженияизположения2вположение3(поворотна уголвокруг оси, проходящей через центр масс системы точкуС) относительно движущейся системы кординатK, жестко связанной с центром масс системы. Выберем за начало инерциальной системы отсчетаКнеподвижнуюточкуО,совпадающуювначальныймоментс центром масс системы точкойС.

о

K^y

_x а

z

K^`

<sub>z`</sub> x<sup>`</sup> _б

Рис. 5.7

� � �

В неподвижной системе координатK(рис. 5.7а) имеем равенство

rr₀r,

где вектор^�— перемещение точкиАиз начального в конечное. Век-

_� r

торr₀— перемещение в этой же системе отсчета за это же время точ-

3. Плоское движениетвердоготела 313

киА, совершающей поступательное движение из начального поло- жения в промежуточное. Отметим, что центр масс тела точкаСпри движении цилиндра совершает только поступательное перемеще- ние. Из (рис. 5.7а)следует,что поступательное движениет.Асовпа-

r

дает с движением точкиС. Вектор^�— перемещение в системе от-

счетаКт.Аиз промежуточного положения в конечное. Последнее перемещение можно представить (рис. 5.7б) как вращение вокруг неподвижной оси в системе отсчетаK, жестко связанной с движу-

�

щимс_�яц_�ентроммасссистемы(т.С).Вэтойсистемеотсчетавектор

rRR_0�.Продифференцируемуказанноевышевекторноеравен-

ство дляrпо времени

� ^� �



^dr^dr0^dr. (5.50)

По определению

dt dt dt

� ^�

� ^dr � ^dr₀

v

_� dt

иv₀_dt.

Так какR₀не меняется со временем, то

_� � ^� �

^dr_^dR_^dR_0^dR_�,

vdt dt dt dt ^л

� ^{� �}

и

_Ц

v_л

v_л[_Ц,R]_,

где

^{� �} — линейная и угловая скорости вращательногодвиже-

ния вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс. Таким образом, имеем

� ^{� �}

vv_0[_Ц,R]_{. (5.51)}

Так как при поступательном движении все точки тела движутся одинаково, то

� ¹ � ¹ � ^m� �

v_C_mmiv_0i_m(_mi)v₀_mv₀v₀

i i

^и � ^{� �}

vv_С[_Ц,R]_{. (5.52)}

Таким образом, плоское движение твердого тела можно предста- вить как сумму поступательного движения его центра масс и враща- тельного движения относительно неподвижной оси, проходящей че- рез центр масс.

Вобщемслучаескоростьтвердоготелаприплоскомдвижениимож-но представить как векторную сумму скоростейпоступательного дви-жениялюбой его точки(не обязательно центра масс)ивращательно- годвижения,обусловленноговращениемвокругоси,проходящейчерезэтуточку.

Еслипредставлятьплоскоедвижениетвердоготелачерездвижениеего центра масс, то система уравнений (5.1) и (5.27) сводится квиду

_� �

ma_CF, (5.53)

I_C_Цz=M_Цz. (5.54)

ЗдесьI_C— момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс. Переменные в первом уравнении рассчитыва- ются относительно инерциальной системы отсчета, а во втором — относительно системы, связанной с центром масс (инерции), т. е. в Ц-системе.