Примеры решения задач

Задача 5.11

Горизонтальная платформа массойM= 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, с частотой

=10об/мин.Человекмассойm=60кгстоитприэтомнакраюплат- формы.Скакойчастотой'начнетвращатьсяплатформа,есличело-

век перейдет от края платформы к ее центру? Во сколько раз увели- чилась кинетическая энергия платформы с человеком? Считать дви- жение человека бесконечно медленным, платформу — однородным диском радиусомR= 1,5 м, а человек — материальной точкой.

Дано:M= 100 кг;m= 60 кг;R= 1,5 м;=10 об/мин = (1/6) с^–1.

Найти:',^Тк.

Т_н

z _ν

W k

₁ 1

Q

Рассмотрим силы,при-ложенныекчеловекуидис-

^Fтр

N

^`=–

ку(рис.а).Кчеловекупри-

^Fтр ^Fтр

_� mg

W=–

ложена силат_�яжестиmg,

Мg ^N

а

норма_�льнаяNикасатель-

ная

^Fтр

(сила трения), со-

ставляющие силы реакции платформы. К платформе

приложена сила тяжести

^�, сила реакции опоры^�со стороны

Mg _� Q _�

оси на которую насажен диск, сила трения

^Fт^р

и сила давленияW

со стороны человека. Рассмотрим механическую систему, состоя-

щую из пла_�тформы и человека. Тогда внешними силами являются

� �

Mg,mgиQ.Выберемосьzвдольосивращения.Притакомвыборе

всевнешниесилынаправленывдольосиzиихпроекци_�инаосиxи

yравны нулю. Так как проекция момента любой силыFна осьzза-

висит только отF_xиF_y(5.10)

M_zxF_yyF_x, (1)

то, очевидно, всеM

= 0 и суммарный внешниймомент

_Mвнеш_{= 0.}

^z � � ^{� z}

Более того, для данной задачиMgmgQ0, так как вдоль осиz

система, а значит и ее центр масс, не движутся. Следовательно, име-етместозаконсохранениямоментаимпульсасистемытелпривраща-тельном движении относительно неподвижной оси (5.43)и

I₁(t)_1z(t)I₂₍t)_2z(t)I₁(t)_1z(t)I₂₍t)_2z(t), (2)

гдеtиt'—начальныймоментвремени,когдачеловекнаходитсяна краю платформы, и конечный момент времени, когда человек на- ходитсявцентре.I₁(t)=I₁(t')=I₁₌MR²/2—моментинерцииплат- формы(диска),I₂(t)=mR^2—моментинерциичеловекавначальный моментвремени,I₂(t')=0—моментинерциичеловекавконечный

момент времени,_1z(t)_2z(t)— начальная частота вращения

системы «человек + платформа»,_1z(t)_2z(t)— конечная частота вращения системы «человек + платформа». Проекции век- торов угловой скорости_zтел системы в начальный и конечный мо- мент времени равны модулям этих векторов, т. к. эти вектора парал- лельны осиz. Таким образом, имеем равенство

(I₁I₂)I₁. (3)

По определению

2, (4)

2. (5)

Подставляя (4) и (5) в (3), имеем

(I₁I₂)2I₁2. (6) Выражая из (6), получаемравенство

(II)2 I

2mR² 2m

^{1 2} (1²)(1

)(1

). (7)

2I₁

1

I MR² M

Требование неизменности момента импульса системы тел подра- зумевает возможность изменения момента импульса каждого из тел системы.

Отношениекинетическойэнергиисистемывконечныйиначаль- ныймоментравно

1

I²

^Tк_ 2 _^2

^I _²

I_1

2

_Tн(I₁I₂)_2

2

I₁I₂

1

2

I₁I₂

(1^I2)²²

I 1

I 2mR² 2m

(8)

 ¹ 1^21 1 ,

1

² _1^I₂ II₁

MR² M

гдеи—начальнаяиконечнаяугловаяскоростьсистемы(плат- формаичеловек),Т_ниТ_к—начальнаяиконечнаякинетическаяэнер- гиисистемы.Подставляячисленныезначенияв(7–8),получаем

(1^2m)(1^260)^12,2¹

(об/с) =

M 1006 6

= 2,2 · 10 = 22 (об/мин)0,37 (об/с),

^Tк1^2m1^2602, 2.

T_н M

100

Ответ:

(1^2m)= 22 (об/мин)0,37 (об/с),

M

^Tк1^2m2, 2.

T_н M