3. Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижнойоси.

РАБОТА ВНЕШНИХ СИЛ ПРИ ПОВОРОТЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

z

^{Рассмотрим рис. 5.7.Модульскорости} kk _W

i-ой частицы вращающегося тела (5.17)

v_iR_i,

а еекинетическая энергия

1 1 ² ²

R

T mv^2 mR²²(mR²⁾ I ,

p_i=m_iv_i

i₂i i

_2ii ii₂ i₂



i

гдеI

m R²— момент инерцииi-ой час-

i ii

m_i

2

тицы. Так как кинетическая энергия все- го тела равна сумме кинетических энер- гий его частей, то

Рис. 5.7



2

T_T_(m R²)

_I²

, (5.44)

2

i ii

i i

i i

гдеI_mR²—момент инерции тела. Полученное выражение спра-ведливоiидля непрерывного твердого тела. Ранее показано, чтопри- ращение кинетической энергии системы частиц равно работе всех сил,действующихначастицысистемы.Длятвердоготела(укоторо- гонетвнутреннихсил)—работевнешнихсил.Следовательно,беско-нечномалаяработавнешнихсил,действующихнатвердоетело,рав- набесконечномаломуприращениюегокинетическойэнергии.Пустьмоментинерциителанеменяетсясовременем.Тогдаимеем

dAdTd

I²_I 2

d^2I dIdId



, (5.45)

2 2 2 ^{z z}

где ось z совпадает с осью вращения и_z. Согласно основно- му уравнению динамики вращательного движения (5.27)

I_zM_z.

Таккакпоопределению

то получаем

^dz,

^zdt

I^dzM.

dt ^z

Умножая левую и правую части этого выражения наdt, преобра- зуем его к виду

Id_zM_zdt.

Подставляя данное выражение в (5.45) с учетом определения про- екции вектора угловой скорости на осьz

имеем

^dz,

^zdt

dAIdMdtM^dzdtMd. (5.46)

z z zz z_dt z z



Обычно направлениеосиzвыбирают так,что^� OZ.Тогда

d_zdиработа внешних силпри повороте твердого тела на конеч- ный угол равна



A_Mzd. (5.47)

0

С другой стороны, как уже было сказано ранее,работа внешнихсил, действующих на твердое тело, равна изменению его кинетиче- ской энергии. Если тело участвует только в процессе вращения во- круг неподвижной оси, то (5.44)

I²I²

ATT ^{2 1,} (5.48)

2 1 _{2 2}

гдеТ_1и_1—кинетическаяэнергияиугловаяскоростьвращениятела в начальный, аТ₂и₂— в конечный момент времени. Последнюю формулу можно обобщить насистему твердых тел и частицспере-меннымимоментамиинерции.Тогдаработавсехсил,действующихна систему твердых тел и частиц, участвующих в процессевращения

 

I² I²

A_T_2i

• ^T1i

_ 2i2i_ 1i1i_{, (5.49)}

2 2

i i i i

гдеT_1i,_1iиI_1i— кинетическая энергия, угловая скорость вращения и момент инерцииiтела (частицы) в начальный, аT_2i,_2iиI_2i— в конечный моменты времени.

Вопросы и задания для самопроверки

1. Равна ли кинетическая энергия системы частиц сумме кинети- ческих энергий частицсистемы?

2. Запишите выражение для вычисления кинетической энергии тела, вращающегося вокруг неподвижнойоси.

3. Запишите выражение для вычисления работы сил, действую- щих на тело при его повороте на конечныйугол.

4. Как связана работа сил, действующих на тело, участвующего только во вращательном движении вокруг неподвижной оси, с из- менением его кинетическойэнергии?

5. Запишите выражение для вычисления изменениякинетическойэнергии системы тел и частиц при условии, что они участвуют толь- ко во вращательном движении вокруг неподвижнойоси.