3. Закон сохранения момента импульсасистемы твердых тел при их вращательномдвижении

ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ

Рассмотримсистему,состоящую из двух твердых тел.Тогдасо- гласно(4.20) _{� � �}

�� �

LL₁L₂иL_z

^L1z^L2z^,

где

L₁,L₂и

L— моменты импульса, аL_1z,L_2zиL_z— проекции мо-

ментов импульса первого, второго тела и системы тел на неподвиж- ную ось z. Для любой системы частиц (в том числе и для системы твердых тел) справедливо равенство (4.23)

^dLz_M^внеш_.

dt ^z

z

ЗдесьM^внеш— сумма моментов всех внешних сил, приложенных к телам системы. Если (4.27)

z

_Mвнеш_0,

то имеет место закон сохранения проекции момента импульса сис- темы твердых тел,

L_1z(t)L_2z(t)L_1z(t)L_2z(t), (5.42) гдеtиt— два произвольных момента времени. Если в эти момен- тывременителасистемысовершаюттольковращательноедвижениеотносительно неподвижной оси, то моменты импульса тел можно представить в виде(5.25)

L_1z(t)

L_2z(t)L_1z(t)L_2z(t)

Тогда из (5.42) следует

I₁(t)_1z(t),

I₂(t)_2z(t),

I₁(t)_1z(t),

I₂(t)_2z(t).

I₁(t)_1z(t)I₂(t)_2z(t)I₁(t)_1z(t)I₂(t)_2z(t),

гдеI₁,I₂,_1z,_2z— моменты инерции и проекции вектора угловой

скорости на осьzпервого и второго тела в моменты времениtиt. Обобщим полученное выражение насистему,состоящую из произ- вольногочисласовершающихвращательноедвижениетеличастиц:

ЕслиM^внеш0, тоIconstили

z z

I(t)_z(t)I(t)_z(t). (5.43)

ЗдесьI— момент инерции системы твердых тел. Отметим, что

впромежутке временимеждуtиt

тела системы могут совершать

более сложные движения, чем просто вращение вокруг неподвиж- ной оси.

Вопросы и задания для самопроверки

1. Сформулируйте закон сохранения момента импульса для сис- темычастиц.

2. Сформулируйте закон сохранения момента импульса для сис- темы твердых тел и частиц, совершающих вращательное движение вокруг неподвижнойоси.

3. Можнолиприменятьзаконсохранениямоментаимпульса,если тела системы участвуют в сложных движениях, не сводящихся толь- ко к вращению вокруг неподвижнойоси?

Примеры решения задач

Задача 5.10

Горизонтальнаяплатформа массойМ= 50 кг и радиусомR= 1 м вращается с частотой₁=12 мин^–1. В центре стоит человек и держит навытянутыхрукахгири.Считаяплатформудиском,определитьчас- тоту₂вращения платформы, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции отI₁= 6,2кг·м²доI₂= 1кг·м².

Дано:M= 50 кг;R= 1 м;

₁=12 мин^–1= 0,2 с^–1.I₁= 6,2 · м²;

I₂= 1 кг· м². Найти:₂.

	R

Дана система, состоящяя из несколь-кихтвердыхтел:платформа,человек,гири.Наэтитвердыетеладействуютвнешние силы: силы тяжести и силы со стороны оси, на которой держится плат- форма.Всевнешниесилыилипараллель- ны или антипараллельны осиz. Из(5.10)

следует, что проекция момента любой силы на осьz

M_zxF_yyF_x, (1)

т. е. зависит только от компонент силы, действующих в плоскостиXOY, перпендикулярных осиz. Следовательно, проекции моментов всех внешних сил на осьz

M_z0. (2)

Тогда имеет место закон сохранения момента импульса системы тел и

L(t)L(t), (3)

гдеL(t)иL(t)—суммамоментовимпульсателсистемывлюбыедва моментавремени.Еслисчитатьtначальным,аt'конечныммомента- ми времени, то моменты импульса платформыL₁и человека с гиря- миL₂(когда тела совершают только вращательные движения вокруг неподвижной оси), соответственно равны(5.25)

L₁(t)=I_p₁,L₁(t')=I₁_1, (4)

L₂(t) =I_p₂,L₂(t') =I₂₂, (5)

где₁,I₁и₂,I₂— круговые частоты вращения и моменты инерции человека с гирями в начальный и конечный момент времени,I_p— момент инерции платформы. Подставляя (4) и (5) в (3) с учетом ра- венств

получаем

₁2_1, (6)

₂2_2, (7)

или

I_p2₁I₁2₁I_p2₂I₂2₂

(8)

(I_pI₁)₁(I_pI₂₎_2. (9)

Выражая из уравнения (9)₂, имеем

II

^{p 1}. (10)

I

p

2

2 _I 1

Так как платформа — диск, то момент инерции платформы отно- сительно оси, проходящей через ее центр перпендикулярно плоско- сти платформы (задача 5.6, выражение 6), равен

MR²

I_p

. (11)

2

Подставляя (11) в (10), находим₂

MR²_

I_pI₁

₂ I₁

₂

I

p

• I₂

^1MR2

2

• I₂

_1. (12)

Используя данные условия задачи, определяем численное зна- чение

₂

501²



6, 2

² 0, 2



501²

1

31,2

26

0, 20, 24c^–1.

Ответ:₂

2



MR²

I

₂ 1



MR²

I

₂ 2

n₁0, 24c^–1.