Задача 5.8

Определить момент инер- цииIтонкого однородно- го стержня длинойL= 1 м и массойm= 0,3 кг относитель-

Ось вращения,проходящаячерез центр масс

C

Ось вращения

_a b

но оси, перпендикулярной стержню и проходящей через

точку,отстоящуюотконцастержнянаb=L/10. Дано:m= 0,3 кг;L= 1 м;b=L/10 = 0,01 м. Найти:I.

L/2

В задаче 5.4 вычислен момент инерции однородного стержня ис- ходя из определения момента инерции. Рассмотрим эту же задачу с использованием теоремы Штейнера. По теореме (5.41) момент инер- ции стержня относительно произвольной оси

I=I_C+ma². (1)

Центрмассстержнянаходитсявцентреегосимметрии,т.е.всере- дине.Моментинерциистержняотносительнооси,проходящейчерез его центр масс перпендикулярно стержню (задача 5.4, выражение7)

mL²

I_C

. (2)

12

Расстояние между осью вращения и параллельной ей осью вра- щения, проходящей через центр масс стержня,

a^Lb^L^L0,4L. (3)

2 2 10

Подставляя (2) и (3) в (1), получаем

II_C

mL² 2

  

ma² m(

12 5

L)²

73

300

mL^2. (4)

Найдем численное значение момента инерции

I⁷³0, 31²0, 073кг· м².

300

Ответ:I

⁷³mL²0, 073кг· м².

300

Составим таблицу из полученных нами значений моментов инер- ции некоторых тел. Все рассмотренные тела являются фигурами вра-

щения. Более полные таблицы моментов инерции таких тел можно найти в справочниках по математике и физике.

Таблица моментов инерции некоторых тел

Название	Ось	Моментинерции
Тонкий стержень длинойL	Проходит перпендикулярно стержню через его середину	(1/12)mL2
Сплошной цилиндр (диск) радиусаR	Совпадает с осью цилиндра	(1/2)mR2
Цилиндрическая поверхность радиусаR	Совпадает с осью цилиндра	mR2
Шар радиусаR	Проходит через центр шара	(2/5)mR2

Задача 5.9

На однородныйсплошнойцилинд- ^z

рическийвалрадиусомR=1мнамота-

налегкая нить,кконцукоторойприкре- O^R

^K`нить

T^`

плен груз массойm= 10кг.Груз,разма- ^am

тывая нить,опускаетсясускорениемa= 1 м/с². Определить: 1) момент инерции вала относительно оси, совпадающей с

amT

_y

P^{`</sup>=m<sup>`}g

K

осью цилиндра, 2) массу валаm_в.

Дано:m=10кг;R=1м;а=1м/с²;

g= 10 м/с².

Найти:I,m_в.

P=mg

Запишем второй закон Ньютона для груза в векторной форме

_� � �

maPT. (1)

Спроектируем векторное уравнение на осьу

mamgT. (2)

Запишем второй закон Ньютонадлявращательного движения валав скалярной форме

MI. (3)

Рассмотрим моменты всех сил, приложенных к валу относитель- но точкиО. Единственной силой, вращающей вал вокруг оси, явля- ется силаT', приложенная к валу со стороны веревки. Линии дейст-

вия силы тяжести вала и силы реакции оси вала (на рис. не показа- ны)проходятчерезточкуО.Следовательно,моментыэтихсилравны нулю. По определению модуль момента силыT'равен

MTR. (4)

Найдемсвязьмеждусилами,приложеннымиквалуT'ителуT, состоронынити.ЗапишемвторойзаконНьютонадлянитимассой

m'(см. рис.)

m^{���}+m'^�, (5)

a K K g,

� �

гдеKиK— силы, действующие на нить со стороны тела и вала. По третьему закону Ньютона

KT, (6)

KT.

Предполагаем,чтонитьневе_�сома_�.Тогда(5)

0KK.

и, следовательно,

Из (6) и (7) получаем

KK (7)

TT. (8)

Подставляя (8) в (4), имеем

TRI. (9)

ВыражаяTиз (9) и подставляя в (2), определяем момент инер- ции валаI

_ITRm(ga)R_{. (10)}

 

Предполагаем, что нить нерастяжима.Тогдамодуль тангенциаль- ного ускорения нити на криволинейном участке должен равняться модулю ускорения нити на прямолинейном участке,т.е.

a_a. (11)

Таккак

a

^, (12)

R



гдеa— модуль тангенциального ускорения нити при ее движении по валу, то подставляя (11) и (12) в (10), получаем

I

m(ga)R_m(ga)R²

mR²(^g

1). (13)

 a a

Момент инерции сплошного цилиндрического вала (цилиндра) относительно его оси (задача 5.6, выражение 6) равен

m R²

I^в . (14)

2

Подставим (14) в (13) и выразим массу валаm_в

2I 2mR^2g g

m_в 

_R2

(1)2m(1). (15)

R^2a a

Найдем численные значения

(

ImR²(^g1)101²¹⁰1)90кг· м²,

a 1

m2m(^g1)210¹⁰1)180кг.

_в (

a 1

Ответ:ImR²(^g1)90кг·м²,m2m(^g1)180кг.

a в a