Задача 5.6

Определитьмоментинерции

сплошного цилиндра высотойH, ра-

диусом основанияRи массойmот- ^R

носительно оси, проходящей через центр цилиндра параллельно его на-

правляющим. ^H

Дано:m— масса цилиндра;H— высота цилиндра;R— радиус осно- вания.

Найти:I— момент инерции ци-линдра (диска).

_r dr

Так как ось проходит через центр симметрии цилиндра, тоI=I_C. По определению объем и плотность сплошного однородного цилин- дра

VSHR²H, (1)

^m. (2)

V

Выделим бесконечно тонкий цилиндрический слой толщинойdrна расстоянииrот оси цилиндра. Объем и масса бесконечно тонко- го слоя равны

dVdsH2rdrH, (3)

dmdV^m2rHdr^m2rHdr^2mrdr. (4)

V R^2H R²

Здесьds2rdr

— площадь заштрихованного кольца. Так как все

точки бесконечно тонкого цилиндрического слоя находятся на од- номитомжерасстоянииrотоси,тобесконечномалыймоментинер- ции этого слояравен

dIr²dmr^22mrdr^2mr3dr. (5)

_R2 _R2

Момент инерции сплошного цилиндра относительно оси, про- ходящей через его центр параллельно направляющим, равен сумме моментов инерции относительно той же оси всех бесконечно тонких цилиндрических слоев, на которые можно разрезать сплошной ци- линдр. Расстояниеrот произвольного слоя до оси изменяется от 0 доR.Тогдаполучаем(5.37)

R

2

II_C_dI_{r dm}

2m^R R

3



₂rdr m

R⁴mR²



2

. (6)

0

0 ^R0

2R 2

Таккакрезультатнезависитотвысотыцилиндра,тоонсправед- ливидлялюбогодискарадиусомR,массойm.

mR²

Ответ:I_C

Задача 5.7

(для цилиндра и диска).

2

Определитьмоментинерциишарара-диусомRи массойmотносительно оси, проходящей через егоцентр

Дано:m— масса шара;R— радиус

шара. _X

Найти:I— момент инерции шара.Таккакосьпроходитчерезцентрсим-

метрии шара, тоI=I_C. Направим осиxи

yтак, как показано на рисунке. Выделим

бесконечно тонкий диск, вырезаемый двумя параллельными плоско- стями, отстоящими от центра шараCна расстоянииyиy+dy. Пре- небрегая краевыми эффектами, будем считать, что бесконечно ма- лый объем и бесконечно малая масса такого диска

dVx²dy, (1)

dmdVx²dy, (2)

где— плотность шара,x²— площадь круга, радиусомx. В задаче

5. рассчитан момент инерции диска относительно этой жеоси

mR²

I _,

2

гдеmиR— масса и радиус диска. Сделаем в этом выражении сле- дующие замены:

IdI,m

dm,R

x. (3)

Тогда получаем выражения для момента инерции бесконечно тон- кого диска, находящегося на расстоянии y от центра шара

dmx²

^dI . (4)

2

Момент инерции шара равен сумме моментов инерции бесконеч- но тонких дисков, на которые можно разбить шар, расстояния y от дискадоцентрашараизменяютсяот–RдоR.Таккактакихдисков— бесконечноемножество,товместосуммированиямоментовинерции надопроизводитьихинтегрирование.Проинтегируемвыражение(4) с учетом равенства (2) и равенства (5) (см.рис.)

x²R²y^2, (5)

x²dm ^Rx2x²dy

2

2

II_C_dI_ _ 

• R



^R ^R

 (R²y²)²dy

_R2 2

_(R⁴2R²y²y⁴)dy

• R

_R R R

 (_R⁴dy2R²_y²dy_y⁴dy)

²R

-R R

3 3

^[R⁴(R(R))2R²(^R^(R)

)(

R⁵(R)⁵



)]

2 3 3 5 5

2

5

_

(2R

_54R_2R

)^(2R

_514R

16R⁵



) ( )



_R38R_

5 5

2 3 5 2

4

2R²

15 2 15 15

2

(

₄ 3

R³)

5

 mR^{2, 5}

гдеmR³— масса шара.

2

3

2

Ответ:I_C₅mR

(для шара).