Вопросы и задания для самопроверки

1. Линейные или угловые скорости являются одинаковыми для всех частиц системы при ее вращении относительно неподвижной оси?

2. Как связаны между собой вектор линейной скорости частицы и вектор ее угловойскорости?

3. Как связаны между собой вектор момента импульса частицы и вектор ее угловой скорости при вращательном движении вокруг не- подвижнойоси?

4. Дайте определение момента инерции частицыисистемычастиц.

5. В каких единицах измеряется моментинерции?

6. Запишите второй закон Ньютона и основное уравнение враща- тельногодвижения.

7. Сформулируйте теоремуШтейнера.

Примеры решения задач

Задача 5.4

ОпределитьмоментинерциипрямоугольнойпластиныдлинойL, ширинойbи массойmотносительно оси, параллельной ее боковой стороне и: 1) проходящей через боковуюсторону,2) проходящей че- рез середину пластины (центрмасс).

y

O

а _б

Дано:m— масса пластины;L— длина пластины;b— ширина пластины.

Найти:I— момент инерции пластины (стержня).

Площадь сплошной однородной прямоугольной пластинки и ее поверхностная плотность равны

SLb, (1)

^m. (2)

S

Направим осьхвдоль стороны пластинки, длина которойL. Рас- смотрим часть пластинки в виде бесконечно тонкой полоски, парал- лельнойосиОуирасположеннойнарасстояниихотнее(рис.а).Ши-рина полоски бесконечно мала и равнаdx.Тогдаплощадьdsи массаdmэтой бесконечно тонкойполоски

dsbdx, (3)

dmds^mds^mbdx^mdx. (4)

S Lb L

Всеточки бесконечно тонкой полоски пластины находятсянаоди-наковом расстоянии от осиу.Следовательно, момент инерции бес- конечно тонкой полоски (5.32)

dIr²dmx^2mdx. (5)

L

Момент инерции всей пластинки относительно оси равен сумме моментов инерции относительно той же оси всех бесконечно тон- ких полосок, на которые можно разрезать пластинку. Тогда получа- ем (5.37)

^Lm mx^3LmL2

I_dI_x²dm_ x²dx  . (6)

_0L L3⁰ 3

Если рассчитать момент инерции пластинки относительно оси, проходящей через середину пластинки (рис.б) вдоль осиу, то

L/ 2_m

m x³

L/2

mL²

II_C_dI_x²dm

_ x²dx 

. (7)

• L/2^L

L3^-L/2 12

Очевидно, что момент инерции не зависит от ширины пластинки

b.Следовательно,результатсправедливидляпластинкисбесконечно малой шириной,т.е. для стержня длинойLи массойm. Еще раз под-черкнем:моментинерциилюбоготеламожноопределитьтолькотогда,когдаизвестно,относительнокакойосиондолженрассчитываться.

Ответ: 1)I

стержня).

mL²

, 2)I

₃ C

mL²

(для прямоугольной пластины и

12

Задача 5.5

Определить момент инерции цилин-

дрической поверхности высотойH,ра- ^R

диусом основанияRи массойmотно-

сительно оси, проходящейчерезцентр _{R H}основания поверхности параллельно еенаправляющим.

Дано:m—массацилиндра;H—вы-сота цилиндра;R— радиусоснования.

Найти:I— момент инерции цилиндрической поверхности.

Таккакосьпроходитчерезцентрсимметриицилиндрическойпо- верхности(азначитицерезточкуцентрамасс),тоI=I_C.Таккаквсе точкицилиндрическойповерхностинаходятсянаодинаковомрас- стоянииRотосицилиндра,товыражение(5.33)сводитсяквиду

2 2 2

II_C_{r dm}R_dmmR. (1)

Результат не зависит от высоты цилиндрической поверхностиH. Следовательно,онсправедливдляцилиндрическойповерхностибес- конечно малой высоты,т.е. для обруча радиусаRи масссойm.

2

Ответ:I_CmR(для цилиндрической поверхности и обруча).